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Périodicité d'une fonction

Posté par
MatteoGrenier
25-09-22 à 18:20

Bonjour à vous,

J'ai des exercices de révisions, j'aimerais savoir comment étudier la périodicité de cette fonction :
f(x) = sin(2x + π/4) * cos(2x)

Sur geogebra je peux conjecturer une période T = 2/π
Donc je fais
f(x+2/π) = sin(2(x+2/π) + π/4) * cos(2(x+2/π))
f(x+2/π) = sin(2x + 4/π + π/4) * cos(2x + 4/π)
f(x+2/π) = ?
f(x+2/π) = f(x)

Comment faire pour retrouver f(x)?

Merci à vous

Posté par
malou Webmaster
re : Périodicité d'une fonction 25-09-22 à 18:31

Bonjour

ce serait pas plutôt /2

Posté par
MatteoGrenier
re : Périodicité d'une fonction 25-09-22 à 18:38

Voilà une erreur aussi discrète qu'une prostituée dans une mosquée, je ne sais pas comment je ne l'ai pas remarqué lol

Merci de ta réponse rapide

Graphiquement on conjecture que la fonction f est périodique de période T=π/2 sur R.
∀ x ∈ R,
    f(x+π/2) = sin(2(x+π/2) + π/4) * cos(2(x+π/2))
    f(x+π/2) = sin(2x + π + π/4) * cos(2x + π)
    f(x+π/2) = sin(2x + π/4) * cos(2x)
    f(x+π/2) = f(x)
Donc la fonction f est périodique de période T=π/2.

Posté par
malou Webmaster
re : Périodicité d'une fonction 25-09-22 à 18:43



tu n'es plus loin, tu sais bien ce qu'il faut trouver, mais ce serait bien de ne pas shunter la démonstration...problème de signes
Savoir utiliser le cercle trigonométrique et formules de trigonométrie

Posté par
MatteoGrenier
re : Périodicité d'une fonction 25-09-22 à 19:02

Je ne suis pas sur de comprendre, est ce que je me suis trompé ou est ce j'aurais oublié quelque chose ?

Posté par
carpediem
re : Périodicité d'une fonction 25-09-22 à 19:04

salut

voir et prouver que f(x + pi/2) = f(x) ne prouve pas que pi/2 est la période de f mais une période de f



pour déterminer la période de f il faut résoudre l'équation d'inconnue T : \forall x \in \R  :  f(x + T) = f(x) et prendre le minimum des valeurs non nulles de T

Posté par
malou Webmaster
re : Périodicité d'une fonction 25-09-22 à 19:11

dans son 1er post, il a bien noté une période

Posté par
malou Webmaster
re : Périodicité d'une fonction 25-09-22 à 19:11

MatteoGrenier @ 25-09-2022 à 19:02

Je ne suis pas sur de comprendre, est ce que je me suis trompé ou est ce j'aurais oublié quelque chose ?


oui, ta démonstration ne tient pas...

Posté par
MatteoGrenier
re : Périodicité d'une fonction 25-09-22 à 19:20

Nous avons un fichier geogebra en parallèle donc je ne sais pas si la conjecture de la période π/2 peut suffire comme "période minimale"

Cependant je ne comprends pas d'où vient l'erreur avec cette démonstration? Qu'est je oublié ou éronné?

Posté par
malou Webmaster
re : Périodicité d'une fonction 25-09-22 à 19:58

vérifie (ce n'est pas pour rien que je t'ai mis un lien de rappel d'utilisation du cercle trigo)

Citation :
f(x+π/2) = sin(2x + π + π/4) * cos(2x + π)
f(x+π/2) = sin(2x + π/4) * cos(2x) comment justifies-tu ce passage d'une ligne à l'autre

Posté par
MatteoGrenier
re : Périodicité d'une fonction 25-09-22 à 20:38

Je n'avais pas vu le lien oups

C'est en effet la chose que je ne comprends pas tellement, ma prof m'avait dit que lorsqu'on retrouvait un +π on pouvait le retirer.

2π correspondent à un tour du cercle trigo donc on retrouve les mêmes valeurs sin ou cos. Mais je ne comprends pas pourquoi on utilise π et pas 2π ici?

Posté par
malou Webmaster
re : Périodicité d'une fonction 25-09-22 à 20:42

tu as ici parce que ici 2* / 2 est égal à et non à 2

donc tu ne fais qu'un demi-tour à chaque fois, que ce soit pour le sinus ou pour le cosinus

regarde un peu la fiche et le cercle trigo et les formules qui en découlent

quand on ajoute seulement que se passe-t-il pour le cosinus, et pour le sinus ?

Posté par
malou Webmaster
re : Périodicité d'une fonction 25-09-22 à 20:48

je vais quitter pour ce soir
je regarderai demain, si personne n'a pris le relais.

Posté par
MatteoGrenier
re : Périodicité d'une fonction 26-09-22 à 17:34

Merci de ton aide lol,

Pourquoi on parle de 2*π/2 ? (Je suis très intelligent)

Lorsqu'on fait avance sur le cercle trigo on inverse le signe de la fonction, donc il manque cette étape :
f(x+π/2) = -sin(2x + π/4) * -cos(2x)
f(x+π/2) = sin(2x + π/4) * cos(2x)
f(x+π/2) = f(x)
Si j'ai bien compris ça

Posté par
MatteoGrenier
re : Périodicité d'une fonction 26-09-22 à 17:36

Donc la suppression du + π est valable seulement lorsqu'on a la possibilité d'annuler le signe pour retrouver la fonction de base

Posté par
MatteoGrenier
re : Périodicité d'une fonction 26-09-22 à 17:42

Non en fait j'ai dis n'importe quoi

Posté par
malou Webmaster
re : Périodicité d'une fonction 26-09-22 à 17:51

f(x) = sin(2x + π/4) * cos(2x)

pour tout x de R,
f(x+\pi/2)=\sin(2(x+\pi/2)+\pi/4)\times \cos (2(x+\pi/2))=\sin(2x+\pi+\pi/4)\times \cos(2x+\pi)=\sin((2x+\pi/4)+\pi)\times \cos(2x+\pi)

mais
\sin((2x+\pi/4)+\pi)=-\sin(2x+\pi/4)
 \\
et
\cos(2x+\pi)=-\cos(2x)

et tu remplaces...

lis dans le détail et réécris sur ton papier

Posté par
MatteoGrenier
re : Périodicité d'une fonction 26-09-22 à 18:04

Oh donc ce que j'ai rédigé en haut est correct ?

Posté par
malou Webmaster
re : Périodicité d'une fonction 26-09-22 à 18:43

si tu écris bien toutes les étapes, oui
j'ai réécrit car je n'étais pas sûre que tu aies tout l'enchaînement

Posté par
MatteoGrenier
re : Périodicité d'une fonction 26-09-22 à 18:50

Okay je te remercie beaucoup pour ton aide j'ai mieux compris maintenant

Posté par
malou Webmaster
re : Périodicité d'une fonction 26-09-22 à 19:01

C'est l'essentiel ! Bonne soirée et à une autre fois sur l'

Posté par
MatteoGrenier
re : Périodicité d'une fonction 26-09-22 à 19:07

Dans le sujet de la trigonométrie j'aimerais également posé une question (je ne sais pas si je dois créer un autre thread)

Comment réaliser la résolution de l'équation f(x) = 0 sur [0;π[

Sur géogebra je constate que S = {x= k1π + 1/4π, x= k2π - 1/4π, x= k3π + 3/8π, x= k4π - 1/8π}
Mais je n'ai pas d'idée comment aboutir à ce résultat et je n'ai pas de cours là dessus hélas

D'après ce que j'ai vu il faut rajouter k*2π dans les fonctions trigonométriques pour les résoudre ?

Posté par
MatteoGrenier
re : Périodicité d'une fonction 26-09-22 à 19:13

J'ai juste trouvé la quatrième solution
2x + π/4 = k*2π
x  = k*π - π/8
x = πk - π/8

Posté par
malou Webmaster
re : Périodicité d'une fonction 26-09-22 à 19:54

Puisque c'est le même exercice, tu poursuis dans le même sujet

Voilà une fiche bien efficace pour la résolution des équations trigonométriques Résoudre des équations trigonométriques
Travaille la d'abord.

puis tu l'appliqueras à ton exercice.
f(x)=0 équivaut à sin(2x + π/4) = 0 ou cos(2x) = 0 (en tant que produit de facteurs nul)
et ainsi tu as deux équations trigo assez simples à résoudre

Posté par
MatteoGrenier
re : Périodicité d'une fonction 26-09-22 à 21:34

J'ai essayé de faire les équations en ligne : sin(2x + π/4) = k*2π et  cos(2x) = k*2π et j'ai retrouvé les solutions donné par Geogebra.

Je vais m'arrêter là je te remercie pour ton aide, c'était sympa, j'ai déjà compris pas mal de choses que je connaissais pas

Posté par
malou Webmaster
re : Périodicité d'une fonction 26-09-22 à 21:51

MatteoGrenier @ 26-09-2022 à 21:34

J'ai essayé de faire les équations en ligne : sin(2x + π/4) = k*2π; et cos(2x) = k*2π et j'ai retrouvé les solutions donné par Geogebra. c'est faux ça

Je vais m'arrêter là je te remercie pour ton aide, c'était sympa, j'ai déjà compris pas mal de choses que je connaissais pas


on peut revoir la résolution de ces équations demain ou un autre jour si tu veux, un sujet n'est jamais fermé, donc tu y reviens quand tu veux, mais c'est à revoir



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