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Petit blocage sur les congruences
Bonjour à tous
Désolé de vous déranger à une heure si tardive mais j'ai besoin d'aide sur un exercice assez intéressant à propos des congruences :
1) Soit a un entier naturel donné. Démontrer que le nombre A=a(a²-1) est divisible par 6.
Je m'en suis sorti en démontrant que A était congru à 0 modulo 6 en faisant une disjonction des cas : a
0(6)
a1(6)
a2(6) etc... jusqu'à 5.
2) Plus généralement, démontrer que An=a(a2n-1) est divisible par 6. Je suis bloqué.
3) Soit n un entier naturel quelconque, démontrer que les sommes :
S=a1+a2+a3+....+ak et Sn=a12n+1+a22n+1+a32n+1+...+ak2n+1
dans lesquelles a1 a2 et an désignent des entiers naturels non nuls donnés, ont le même reste de division par 6.
Voilà je vous remercie d'avance et bonne année à tous ceux qui n'ont pas reçu mes voeux sur l'île.
Manu 
2) démontrer que est divisible par 6
pour cela utiliser la recurrence
pour n=1 déja demontrer par toi en 1
supposer qu'il est vrai pour n
et démontrer la pour (n+1)
alors continue
Samir
on a
d'apres 2) tu deduis que est dévisible par 6
d'ou S et ont le même reste de division par 6
Samir
Ok Samir, voici ce que j'ai trouvé par récurrence. Merci pour le tuyau :
Supposons qu'elle est vraie pour n, démontrons que c'est vraie pour n+1.
On a An+1=a(a2(n+1)-1)
=a(a2n*a²-1)
=a[(a2n+1-1)a²-1]
=a[(a2n-1)a²+a²-1]
=a(a2n-1)a²+a(a²-1)
Par hypothèse de récurrence 6/a(a2n-1) donc 6/a(a2n-1)a²
et 6/a(a²-1) (propriété vraie au rang 1).
donc 6 divise la somme càd 6/a(a2n-1)a²+a(a²-1).
La propriété est vraie au rang n+1 et ainsi on peut conclure.
C'est juste ?
Merci pour ton aide samir. 
Manu
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