Niveau terminale

Petit dm sur les fonctions exponentielles.

Posté par Samsagace (invité) 10-11-04 à 23:45

Bonjour à tous, j’ai un petit exo de dm a faire sur les exponentielles, merci de bien vouloir m’aider.

A. Soit g la fonction définie sur R par : g(x)=1-exp(2x)-2x.exp(2x) .
a. Déterminer les limites de g en + et – l’infini.
(petite aide : pour trouver la limite en moins l’infini, poser X=2x.)
b. Calculer g’(x).
c. Dresser le tableau de variation de g sur R.
d. Calculer g(0). En déduire le signe de g(x).
B. Soit f la fonction défini sur R par f(x)= x + 3 – x.exp(2x) et ( C ) sa courbe représentative dans un repère orthonormal.
a. déterminer les limites de f en + et – l’infini .
b. Calculer f’(x).
c. En utilisant A. étudier le sens de variation de f.
d. Montrer que la droite D d’équation y=x+3 est asymptote a ( C ) en – l’infini.
Etudier la position relative de ( C ) et D.
e. Montrer que sur [0 ;+inf] (inf pour infini), la courbe ( C ) coupe l’axe des abscisses en un seul point I.
Déterminer, en justifiant, un encadrement d’amplitude 0.1 de l’abscisse de I.

Bon courage, je vous remercie d’avance.
Bye.

Posté par Théo (invité)re : Petit dm sur les fonctions exponentielles. 11-11-04 à 12:01

Salut,

T'"aider" signifie tout faire à ta place ?
Indique nous les points sur lesquels tu bloques, et on pourra sûrement t'aider de façon à ce que ce soit profitable pour toi..

Posté par Samsagace (invité)re : Petit dm sur les fonctions exponentielles. 11-11-04 à 14:04

non sa ne signifie pas spécialement tout faire a ma place mais au moins me guider, sa serai sympas ( surtout la partie B ).

Posté par re : Petit dm sur les fonctions exponentielles. 11-11-04 à 15:07

Bonjour

Alors , allons-y :

PARTIE I
$g(x)=1-e^{2x}-2xe^{2x}$

a)limite en +oo:
$\lim_{x\to +\infty} 2x=+\infty$
donc :
$\lim_{x\to +\infty} e^{2x}=+\infty$
d'où :
$\lim_{x\to +\infty} -e^{2x}=-\infty$
De même :
$\lim_{x\to +\infty} 2xe^{2x}=+\infty$

en conséquence :
$\lim_{x\to +\infty} -2xe^{2x}=-\infty$

Donc par somme de limite :
$\lim_{x\to +\infty} g(x)=-\infty$

limite en -oo :
Comme l'indique l'énoncé , posons X=2x
Alors On est venu à calculer :
$\lim_{X\to -\infty} 1-e^{X}-Xe^X$

Une propriété de l'exponnentielle est :
$\lim_{u\to -\infty} ue^{u}=0$

On en déduit :
$\lim_{X\to -\infty} Xe^{X}=0$

D'autre part :
$\lim_{X\to \infty} e^{X}=0$

Donc $\lim_{x\to -\infty} g(x)=1$

b)On connait la formule de dérivation :
$\frac{d}{dx}(e^{u(x)})=u'(x)e^{u(x)}$
donc :
$\frac{d}{dx}(e^{2x})=2e^{2x}$

De plus :
$\frac{d}{dx}[u(x).v(x)]=(u'.v)(x)+(u.v')(x)$
On en déduit :
$\frac{d}{dx}[-2xe^{2x}]=-2e^{2x}-4xe^{2x}$
$\frac{d}{dx}[-2xe^{2x}]=-(4x+2)e^{2x}$

Il s'ensuit :
$g'(x)=-2e^{2x}-(4x+2)e^{2x}$
$g'(x)=-4(x+1)e^{2x}$

c)On en déduit les variations de g
$\begin{tabular}{|c|cccccc||}x&-\infty&&-1&&+\infty\\{g'(x)}&&+&0&-&&\\{g}&&\nearrow&&\searrow\\\end{tabular}$

d) $g(0)=1-e^{0}-0\times e^{0}$
donc :
$g(0)=0$

On en déduit le tableau de signe de g :
$\begin{tabular}{|c|cccccc||}x&-\infty&&0&&+\infty\\{g(x)}&&+&0&-&&\\\end{tabular}$

PARTIE II
$f(x)=x+3-x.e^{2x}$

a)limite en +oo:
$f(x)=x(1-e^{2x})+3$

$\lim_{x\to +\infty} -e^{2x}=-\infty$

donc
$\lim_{x\to +\infty} x(1-e^{2x})=-\infty$

soit :
$\lim_{+\infty} f=-\infty$

limite en -oo:
$f'(x)=x+3-\frac{1}{2}2xe^{2x}$

En posant X=2x :
$f'(x)=\frac{1}{2}X+3-\frac{1}{2}Xe^{X}$

Par un raisonnement identique à la partie I :
$\lim_{X\to -\infty} -\frac{1}{2}Xe^{X}=0$

donc :
$\lim_{-\infty} f=-\infty$

b) $\frac{d}{dx}(xe^{2x})=e^{2x}+2xe^{x}$

On en déduit :
$f'(x)=1-e^{2x}-2xe^{x}=g(x)$

c) d'aprés notre étude dans la partie I , on peut en déduire :
$\begin{tabular}{|c|ccccc||}x&-\infty&&0&&+\infty\\{f'(x)}& &+&0&-&\\{f}&&\nearrow&&\searrow\\\end{tabular}$

d) $f(x)-(x+3)=-xe^{2x}$ , or d'aprés le calcul en a) , $\lim_{x\to -\infty} -xe^{2x}=0$
c'est a dire :
$\lim_{x\to -\infty} [f(x)-(x+3)]=0$ d'où y=x+3 est asymptote à Cf en $-\infty$

Pour étudier les positions relatives de Cf et y=x+3 étudions le signe de f(x)-(x+3) :
$f(x)-(x+3)=-xe^{2x}$

$e^{u}>0$ pour tout u donc f(x)-(x+3) dépend du signe de -x , c'est a dire :
$\begin{tabular}{|c|cccccc||}x&-\infty&&0&&+\infty\\{f(x)-(x+3)}&&+&0&-&&\\\end{tabular}$

On en déduit :
1) $\forall x\in]-\infty;0[,f(x)>x+3$ <=> Cf est au dessu de y=x+3
2)Cf et y=x+3 se croise au point d'abscisse 0
3) $\forall x\in]0;+\infty[,f(x)<x+3$ <=> Cf est en dessou de y=x+3

e) f(0)=3 . D'aprés la stricte décroissance de f sur $]0;+\infty[$ on peut en déduire que celle-ci induit une bijection de $]0;+\infty[$ sur $]-\infty;3[$ .
$0\in]-\infty;3[$ on en déduit que sur $]0;+\infty[$ , l'équation f(x)=0 admet une unique solution , c'est a dire que sur cette intervalle , Cf croise (xx') en un unique point .
Avec la calculette , on trouvera un encadrement de cette solution ( dsl , j'ai pas ma calculette à coté donc je te laisse faire )

Voila ,

Posté par re : Petit dm sur les fonctions exponentielles. 11-11-04 à 15:14

ca c'est de la réponse !! Bien joué nightmare !

Posté par re : Petit dm sur les fonctions exponentielles. 11-11-04 à 15:20

Merci puisea

C'est vrai qu'en ce moment j'essaye de faire un maximum de réponses détaillées ... Aprés tout les débats qu'il y a eu dessu

Posté par Samsagace (invité)re : Petit dm sur les fonctions exponentielles. 11-11-04 à 15:44

Wouah, c'est super, jte remercie énormément !
C'est impressionant !

Ce topic

Imprimer
Réduire / Agrandir
Pour plus d'options, connectez vous !
Fiches de maths

Fonction Logarithme en terminale
4 fiches de mathématiques sur "Fonction Logarithme" en terminale disponibles.

Rechercher

Espace membre

Zone membre

Pas de compte ?
Je m'inscris

Changer d'île

Cours et Exercices de maths

Forum de maths

college

lycee

Outils de maths

Pages les plus populaires

Petit dm sur les fonctions exponentielles.

Seuls les membres peuvent poster sur le forum !

Ce topic

Fiches de maths