Bonjour, verbatim74.

As-tu réussi à démontrer que f est injective?

J'ai l'idée, je vous l'explique :
On prend P et Q dans [X] et (,) dans C et après on fait f(P+Q)
Ca donne que f(P+Q)=f(P)+f(Q)
Donc que f est linéaire.
Après je ne sais pas comment m'y prendre c'est la que vous intervenez

On cherche donc ker f.
Pour cela, on va résoudre l'équation différentielle

(1-dx)u'+x^2u=0

dont les solutions sont  u(x)=A x^d exp(1/x).

S'il y avait un polynôme P non nul dans ker f, cela entraînerait qu'il existe A tel que:
A x^d exp(1/x)=P(x)
Cela entraînerait que la limite de x^d exp(1/x) est égale à  P(0)/A. C'est contradictoire puisque cette limite en 0+ vaut l'infini.

Donc, ker f est réduit à {0}.

Il y a une idée utilisant uniquement l'algèbre linéaire, mais elle est plus compliquée.

Et cette idée avec l'algebre linaire pouvez vous me l'expliciter ?
Et sinon pour la suite de l'exercice, avez vous une idée ? un raisonnement

Merci de m'aider
Cordialement

L'idée avec l'algèbre linéaire, c'est d'étudier les images de 1,X,...,X^d,X^(d+1)..., mais je n'ai pas envie de la détailler.

Pour montrer que f n'est pas surjective

On montre que l'équation f(P)=X^(d+1) n'a pas de solution de la manière suivante:

Si P est de degré n supérieur ou égal à d+1, alors, f(P) est de degré égal à n+1 et ne peut donc pas être égal à X^(d+1)

Si P est de degré inférieur ou égal à d, alors, f(P) est de degré inférieur ou égal à d et ne peut donc pas être égal à X^(d+1).

Donc, f n'est pas surjective.

D'accord mais n'y a til pas une hsitoire de rang de polynome et non pas de degré ?
Aussi peux tu m'expliquer bien correctement ta solution a l'exercice depuis le debut, bien detaillée car c'est pour mon passage en 2eme année de prepa
Si je ne rend pas ca au proff nikel chrome, il va me descendre
Merci de ton aide, ca serait vraiment cool

Cordialement

Je suis prof ...
Ca m'étonnerait beaucoup que ton passage en 2ème année se joue sur ce seul exercice...
De plus, ton prof saura reconnaître une solution qui a été écrite par un autre prof...

Je veux bien relire une solution que tu auras rédigée toi-même, en précisant si elle me paraît correcte.
Mais il n'est pas question que je donne d'autres indications sur cet exercice.

Nan  c'est pas ca
Mais c'est parce que j'ai pas mal galeré cette année et la il m'a parlé et je dois lui rendre un exercice bien fait et le plus rapidement possible.
Ben tampi si vous ne voulez pas plus m'aider car je ne comprend presque pas votre solution
Quand je passé en colle ta leur, ben il n'y avait pas d'equation differentielle mais des application linéaires,  des noyaux et des polynomes ainsi que leur racine et leur rang. ( P different de 0 par supposition puis contradiction).Mais impossible de me rapeler
Ca serait cool de vraiment m'aider.Je vous en prie, je tiens a mon passage en 2eme année
Merci

Ecoutez monsieur, je suis arrivé en colle, et on m'a donné cet exercice : je ne l'ai pas choisi ! De plus,le proff veut que l'on redige la coll a l'écrit pour mieux nous acclimater avec l'exercice.C'est un exercice de niveau " Centrale Paris" et je n'y suis pas habitué.C'est pour cela que je demande de l'aide.S'il vous plait quelqu'un aurait il une idée de comment resoudre cet exercice assez rapidement et de maniere claire pour que j'y comprenne quelque chose ?

Merci de m'aider et merci a vous monsieur !

Peut etre faudrait-il raisonner aussi sur les degrés
Quelqu'un pourrait-il m'aider, je suis un peu a la masse sur ce chapitre et c'est un exercice dur !
Cordialement

Au lieu de réclamer une autre solution qui, apparemment, n'arrive pas, tu ferais mieux d'examiner la mienne et de préciser ce que tu ne comprends pas dans cette solution. Je te donnerai des indications qui te permettront peut-être de progresser.

Donc voici ma reponse pour cet exercice
Si "perroquet" pouvait regarder et me dire rigoureusement ce qui ne va pas .Merci

Alors :

1)P,Q [X],[X],
f(P+Q)=(1-dX)(P+Q)+X²(P+Q)'
                                     = f(P)+f(Q)

Donc f est linéaire ( après calcul).

Determinons Ker(f).
Resolvons pour se faire l'equation E d'inconnu u donnée par (1-dX)u+X²u'=0
u est solution de (E) ssi : u(x) = AX^d  exp(1/X)  => Corrigé moi si ce n'est pas bon.Merci
Soit PKer(f) tel que P0
Cela signifie qu'il existe A tel que P(X)=AX^d exp(1/X).
donc que lim X^d exp(1/X) tend vers P(0)/A lorsque X tend vers 0+.C'est contradictoire vu que lim X^d exp(1/X) tend vers +
en 0+
Donc Ker(f)={0}

Ainsi f est un endomorphisme injectif.

2)Soit P de degré n.On a deg(P)=n

Si P est de degré n supérieur ou égal à d+1, alors, f(P) est de degré égal à n+1 et ne peut donc pas être égal à X^(d+1).

Si P est de degré inférieur ou égal à d, alors, f(P) est de degré inférieur ou égal à d et ne peut donc pas être égal à X^(d+1).

Ainsi l'equation f(P)=X^(d+1) n'a pas de solution dans [X]

Donc f n'est pas surjective.

Faut-il mettre autre chose ?
Merci pour toute reponse correspondante !

* J'enleve le "après calcul", ca ca va.

*Ensuite on prend l'equation E : (1-dX)u+X²u'=0 ssi u'=-((1-dX)/X²)u
                                                ssi u'=(-1/X²+d/X)u
                    
On note v(X)=(-1/X²+d/X)
Une primitive de v est donnée par : B(X)=1/X+dlnX
Donc u est solution de E ssi u(X)=Aexp(1/X-dlnX)=Aexp(-B(X))
                         ssi u(X)=Aexp(1/X) exp(-dlnX)
                         ssi u(X) = AX^-d exp(1/X)

On trouve pas la meme forme annoncée !Il y a un "-d" qui traine !

*Pour les  demonstration merci de me donner une piste suplémentaire, je bloque !
Merci perroquet

J'ajouterai aussi que :

Soit deg(P)=n
On a deg(X²)=2 et deg(P')=n-1 donc deg (X²P')=deg(P')+2 = n+1

Ainsi deg(f(P))=n+1 mais je ne sais pas pourquoi
Cordialement

Ok parfait j'ai compris
Et faut il rajouter autre chose pour que la redaction et le raisonnement soit nikel-chrome ?

Je ne sais pas.
Il faut que je voie la rédaction.

Pour tout P,Q dans C[X],tout a, b dans C,
f(aP+bQ)=(1-dX)(aP+bQ)+X²(aP+bQ)'
        = af(P)+bf(Q)

Donc f est linéaire

Determinons Ker(f).
Resolvons pour se faire l'equation E d'inconnu u donnée par (1-dX)u+X²u'=0
Donc u est solution de E ssi u(X)=A exp(1/X+d ln X)=A exp(B(X))
                         ssi u(X)=A exp(1/X) exp(d ln X)
                         ssi u(X) = A X^d exp(1/X)
Soit P appartenant à Ker(f) tel que P diiferent de 0.
Cela signifie qu'il existe A tel que P(X)=AX^d exp(1/X).
donc que lim X^d exp(1/X) tend vers P(0)/A lorsque X tend vers 0+.C'est contradictoire vu que lim X^d exp(1/X) tend vers +
en 0+
Donc Ker(f)={0}

Ainsi f est un endomorphisme injectif.


2)Soit P de degré n.On a deg(P)=n
On a deg(X²)=2 et deg(P')=n-1 donc deg(X²P')=deg(P')+2 = n+1 donc deg(f(P))=n+1 .
Si P = Sigma .....cf juste au dessus par redaction de perroquet


Ainsi l'equation f(P)=X^(d+1) n'a pas de solution dans [X]

Donc f n'est pas surjective.

Voila ????

Sinon pour l'injectivité :  Pour tout polynôme P de degré n, f(P) est de degré n+1. Pour le noyau de f, il faut donc trouver l'ensemble des polynômes K de degré p tels que f(K)=0. Il nous  faut donc un polynôme qui soit tels que degré(f(K))=-infini. Or degré (f(K))=p+1. Donc p=-infini, donc K=0, donc elle est injective.

Cela est il plus directe et plus simple a presenter ?

> post de 17h02

Et donc comment fait on pour le degré de f(P) ?Si tout ceci est faux ?
On met bien des X ou des petit x pour l'equation différentielle ?
Un dernier coup de pouce serait le bienvenue
Cordialement

Merci perroquet je ne comprend rien de ta reponse pour la SURJECTIVITE
Merci de me faire une raisonnement plus clair car la, c'est le neant !

Pour montrer que f n'est pas surjectif, je montre que l'équation
f(P)=X^(d+1)
n'admet pas de solution.

Pour cela, je montre que, pour tout polynôme P de C[X], f(P) n'est pas de degré d+1. Je considère deux cas:
le premier est celui où P est de degré supérieur ou égal à d+1
le deuxième est celui où P est de degré inférieur ou égal à d
(revoir le post du 28 mai, à 15h32)