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petit exo(polynôme)
Salut tous on a le polynôme suivant et je dois cité les racines et leur multiplicité(on sait que: p strictement supérieur a q et (p,q,n)
3.
Q=(Xp-1)(Xq-1)Xn+1
Réponse:
On a clairement 0 est racine de Q de multiplicité n+1.
, mais j'ai un petit problème pour déterminer la multiplicité de 1( j'hésite entre max(p,q) ou p+q) et la multiplicité de (-1).
Pouvz vous m'aidez? Merci d'avance.
Ok, alors j'imagine que ni p ni q n'est nul(sinon c'est trivial!).
Les racines de sont les racines p èmes de l'unité, celles de
sont les racines q èmes de l'unité, donc 1 est clairement de multiplicité 2 (on peut factoriser (X-1) une seule fois dans chacun des deux premiers facteurs).
Ensuite -1 ne sera racine que si p ou q est pair.
En fait il vaudrait mieux regarder la multipicité d'une racine p ème ou d'une racine q ème de l'unité directement, sachant que cette multiplicité vaut à chaque fois au moins 1 et au plus 2.
Cette étude englobera le cas éventuel de -1.
je ne comprend pas pourquoi 1 est de multiplicité 2 et non p, car p et supérieur à q, et si on prend 1, p fois, on a: Q(1)=0
Encore une fois, (X-1) n'est factorisable que deux fois.
Ex avec n=3:
tu vois bien que (X-1) n'est factorisé qu'une fois!
Autre point de vue: la dérivée de est
et ne s'annule pas en 1, donc 1 n'est pas racine multiple de ce polynôme.
Tigweg
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