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Petit Exo sur les suites
Bonjour à tous,
je prépare activement ma prochaine interro de maths, et je bloque sur un exo dont voici l'énoncé :
On considère x,y,z trois réels.
1. Verifier que x^3+y^3+z^3-3xyz = (1/2)*(x+y+z)[(x+y+z)(x-y)^2+(x-z)^2+(y-z)^2] => ca c'est bon 
2. En déduire que si u>0 , v>0 et w>0, on a :
cubique ( uvw) 
(1/3)(u+v+w)
=> ca c'est bon
3. Traiter le cas d'egalité dans l'inégalité qui precede : donner une cns sur u,v,w pour avoir égalité :
=> Il faut que u=v=w mais je ne sais pas si je dois et comment le demontrer.
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A partir de la je bloque....
On considere les trois suites (an),(bn) et (cn) , n 
definies par a0>0, b0>0, c0>0 et de la recurrence :
a(n+1)= 1/3 (an+bn+cn)
b(n+1)= racine cubique ( an*bn*cn)
3/c(n+1) = 1/ an + 1/bn + 1/cn
demontrer que pour tout entier n
1, anbncn
En deduire que an et cn sont monotones
demontrer que an, bn et cn convergent respectivement vers des reels positifs a,b et c (sans les determiner)
etablir a=b=c.
Je vous remercie d'avance pour votre aide
Pour le 3, en posant x^3=u, etc... il y a égalité si dans l'égalité du 1 le 1er membre est nul, donc le second aussi: comme x+y+z>0 il faut que (x-y)^2+(x-z)^2+(y-z)^2=0 donc x=y=z
an>=bn : c'est la question 2
bn>=cn c'est encore la question 2 si l'on pose a'n=1/an, b'n=1/bn c'n=1/cn
donc b'(n+1)=(a'n*b'n*c'n)^1/3 et c'(n+1)=(a'n+b'n+c'n)/3
A partir de là a(n+1)<=an et c'(n+1)<=c'n donc c(n+1)>=cn
an est décroissante et minorée (par c1), cn croissante et majorée (par a1) donc convergent vers a et c.
bn est majoré par an donc a(n+1)<=(2an+cn)/3 et si c<a on arrive à a<=(2a+c)/3 a<=c d'où contradiction. donc a=c et bn encadré par an et cn converge vers b=a=c
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