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Petit problème de colle
Bonjour
J'ai une colle de maths a rediger et je ne sais vraiment pas comment m'y prendre sur la fin de celle
Soit a,b,c dans R+* .Démontrer que les 3 assertions suivantes sont equivalentes :
1) Il existe 3 points non alignés A, B, C appartenant au plan tels que BC =a , CA = b , AC=c
2) a<b+c , b<c+a et c<a+b
3) |b-c|<a<b+c
Ebauche de reponse : J'ai deja montré que 1==>2 puis que 2 => 3 mais je ne vois pas comment faire pour montrer que 3=>1
Si quelqu'un pouvait m'aider ca serait simpa. Peut etre par Al Khashi mais je ne vois pas comment faire
Merci de votre aide
Au plaisir de vous aider
JP
Bonsoir verbatim74
Pour montrer , je ne vois pas comment on pourrais utliser Al-Kashi, étant qu'il n'y a pas de triangle, du moins pas pour le moment.
Je te propose autre chose : essaie de raisonner géométriquement.
Plus précisément, considère dans le plan, le point B de coordonnées (0,0) et C de coordonnées (a,0).
Le point B, s'il existe, sera alors l'intersection de deux cercles.
Saurait-tu me dire lesquels ?
Kaiser
Le point A s'il existe plutot nan ?
Sinon je pense que A est a l'intersection du cercle de centre B et de rayon BC et du cercle de centre C de rayon BC
Mais je me trompe peut etre
Est cela ?
Si tu as la solution du 3=> 1 aide moi s'il te plait ca m'arrangerai beaucoup
J'ai deja montré 1 => 2 par inégalité triangulaire et 2=>1 par permutation circulaire
Merci
Effectivement, c'est bien le point A ! 
Sinon, si tu construit ton point A comme tu le fais, tu vas avoir un triangle équilatéral (que fais-tu de b et de c ? )
Enfin, j'ai simplement lancé cette idée comme ça donc je n'ai pas vraiment vu les détails.
Kaiser
Oui mais ca nous avance pas trop cette histoire la nan ?
Apres comment faut-il faire ?
Trouver un angle ? pour construire les autres points
Si tu pouvait etudier le problème ca m'aiderait bien car c'est a rendre pour lundi.
J'ai deja essayé pas mal de combinaison, mais je ne vois pas
Par contreje n'avais pas utilisé la piste geometrique, si tu pouvais voir ce que ca donne , ca serait vraiment simpa de m'aider.
Merci
JP
On doit avoir que CA = b et AB=c donc A appartient au cercle de centre C et de rayon b et au cercle de centre B et de rayon c.
Montrez l'implication revient alors à montrer que l'intersection de ces deux cercles est non vide.
Kaiser
P.S : je veux bien continuer à t'aider mais ne dis plus des trucs du genre "c'est a rendre pour lundi". Ceci n'est pas très apprécié sur le forum. 
Ok excuse moi pour le PS, mais la prepa c'st stressant surtout lorsque l'on a un proff un peu " dejanté " qui nous insulte lorsqu'on ne rend pas les colles. Enfin bref, mais comment fais tu pour montrer cela ?
Car le but de l'implication est de montrer que 1=> 3 donc que |b-c|<a<b+c => il existe 3 pts non alignés A, B,C tels que BC=a, CA =b, AC=c
Et la je vois ce que ca reprensente geometriquement mais pour le montrer, c'est le trou noir.
Merci de ton aide
JP
OK, excuses acceptées !
Sinon, tu es bien d'accord avec moi que si l'on démontre que l'intersection des deux cercles est non vide, alors on aura démontré ce que l'on voulait ?
Kaiser
Oui absoluement
Mais après comment le demontre t'on ?
Il faut faire intervenir un angle ?
Enfin je ne vois vraiment pas, mais ca marche par construction geométrique ( au brouillon)
Cordialement
Cercle de centre C de rayon b : (x-a)²+y² = b² et cercle de centre B de rayon c : x²+y²=c² avec A(x,y), B(0,0) et C(a,0), mais je ne vois pas ou tu veut en venir.
Merci de m'aider ds le raisonnement
Cordialement
Montrer que l'intersection de ces deux cercles est non vide revient en fait à montrer que le système suivant admet au moins une solution :
Tu es d'accord ?
Reste à le montrer.
Kaiser
On obtient bien x et y
x = 1/2 (c²-b+a²) et y = racine ( c²-1/2(c²-b+a²))
Le systeme admet bien une solution
Mais on ne peut rien conclure sur A si ce n'est qu'il appartient au deux cercle
En quoi a ton prouvé que 3 => 1 ?
BC=a , CA=b, AC= c ????
Je ne vois vraiment pas
Attention tout de même !
Tu as pris la racine carrée d'un réel dont tu ignores totalement le signe.
Le but est bien sûr d'utiliser les hypothèses du 3) pour montrer qu'il est positif.
Sinon, si on montre qu'un point de coordonnées (x,y) vérifie le système, cela veut dire que ce système admetau moins une solution et donc que l'intersection des deux cercles est non vide.
Ensuite, on aura bien trouvé que les point A, B et C existent.
Tu me suis ?
Kaiser
Oui d'accord mais alors comment montrer que ce nombre sous la racine des <0 d'après le 3 ? et ensuite comment demontrer que ces points ne sont pas alignés ? Car s'ils existent c'est bien joué mais pour montrer leur non alignement c'est un peu delicat nan ? Sinon je te suis parfaitement...
Tout d'abord, il me semble que tu t'es trompé pour x.
Pour ma part, je trouve (ceci a bien un sens car a est non nul).
Ensuite, pour y², je trouve en remplaçant dans la deuxième équation :
qu'on en peut simplifier en :
Es-tu d'accord avec mes calculs ?
Kaiser
Oui absoluement d'ou y = racine de tout ca
Mais ensuite ?
d'ou y = racine de tout ca
Justement non ! On doit d'abord montrer que c'est positif avant de prendre la racine.
Il suffit donc de montrer que les deux facteurs
Pour montrer qu'ils ne sont pas alignés, je voudrais que tu répondes à la question suivante :
Si M, N et P sont 3 points alignés dans cet ordre, quelle égalité doit vérifier les longueurs MN, MP, et NP ?
Kaiser
D'accord donc comment montrer que c'est positif ?? puis comment conclure ?
Pour tes 3 pts, on a MP = MN+NP ( cas d'egalité dans l'inégalité triangulaire)
Cordialement
OK, pour le cas d'égalité.
Pour montrer que ces deux expressions sont positive, utilise le fait que .
Cette inégalité est équivalente aux deux inégalités suivantes :
.
Kaiser
Ok ca marche donc il existe une seule solution au systeme donc les deux cercles sont secants au point A
Maintenant comment t'en deduit que A, B, C ne sont pas alignés ? et que BC=a, CA=b et AC=c ???
Cordialement
Ok ca marche donc il existe une seule solution au systeme
ça veut dire que tu as réussi à montrer que c'est positif ?
Maintenant comment t'en deduit que A, B, C ne sont pas alignés ?
S'ils étaient alignés, alors on a 3 cas selon l'ordre d'alignement :
Dans les 3 cas, montre que le cas d'égalité de l'inégalité triangulaire n'est pas vérifié.
et que BC=a, CA=b et AC=c ???
Ceci est immédiat par construction.
En effet, B est le point de coordonnées (0,0) et C celui de coordonnées (a,0), donc BC=a.
Par ailleurs, comme A appartient au cercle de centre C et de rayon b et au cercle de centre B et de rayon c,alors AC=b et AB=c.
Kaiser
Ok merci et tu pense que cela suffit pour montrer que 3 => 1 ???
que 1=> 3 enfin non je suis betes par transitivité de l'implication c'est facile
Et pour montrer que le quotien est >0 on utilise bien le 3 c'est ca ?
Merci pour ton aide
Je redigerai ca demain et je te ferai par des commentaires du proff
Cordialement
Bonne soirée
Et pour montrer que le quotient est >0 on utilise bien le 3 c'est ca ?
Quand tu parles du quotient, tu parles bien de la dernière expression de mon message de 22h26 ?
Si tel est le cas, alors oui.
Merci pour ton aide
Mais je t'en prie !
Je redigerai ca demain et je te ferai par des commentaires du proff
OK ! Espérons qu'il ne soit pas dur !
Kaiser
Héhé je pense que tu t'es trompé pour le calcul de x et y
Mais après je ne suis pas sur de moi...
Ouaip et dans ce cas comment tu montres que c'est positif pour exprimer la racine de y² ??? Avec 3 ?
En refaisant mes calculs, il me semble que j'arrive au bon calcul et je montre que c'est bien postif.
Reprenons :
Tous calculs faits, je trouve
Et donc :
Et là, le miracle se produit 
, on reconnaît des identités remarquables :
Ouf, enfin !
Maintenant, il suffit de montrer que :
En utilisant les hypothèse du 3), on y arrive.
Kaiser
Oui et comment ?
De plus une fois que cela est prouvé comme tu montres de maniere concrete que pour les 3 cas, l'inégalité triangulaire n'est pas verifiée ?
Pour montrer que les deux expression sont positives, voici comment on procède.
Je te fais la première et te laisse faire l'autre tout seul.
Montrons alors que
Ceci est équivalent à montrer que
En utilisant 3), l'inégalité de droite donne , donc on a
.
Par ailleurs, l'inégalité de gauche donne .
En particulier, on a , d'où
On a donc montré que , donc
et c'est fini.
Pour montrer que les points A, B et C sont non alignés, il faut montrer qu'à chaque fois le cas d'égalité de l'inégalité triangulaire n'est pas vérifié.
PLus précisément, il faut montrer que
En d'autres termes, il faut montrer que :
La première inégalité est immédiate en utilisant l'inégalité de droite du 3).
Les deux autres se démontrent à l'aide de l'inégalité de gauche.
Kaiser
et comment tu les demontres avec l'inégalité de gauche ?
utilise le fait que si m et n sont deux réels vérifiant m>|n| alors m>n et m>-n.
D'ailleurs, c'est équivalent.
Kaiser
Et puis c'est faux pour l'histoire des pts alignés
D'apres 3 , tu montre justement que l'inégalité triangulaire est verifié car a<b+c d'ou BC< AB+AC chose qu'on ne veut pas !
Attends deux secondes : bien sûr que l'inégalité triangulaire est vérifiée et heureusement.
Si tu regardes bien mon message de 16h50,j'ai dis de montrer que le cas d'égalité de l'inégalité triangulaire n'est pas vérifié ce qui n'est pas la même chose.
Kaiser
Bon dit moi comment faire s'il te plait proprement et concisement s'il te plait
Je sature sur ce problème
franchement merci
Enfin je veux dire pour montrer les 2 autres avec l'inégalité de gauche ?
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