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Petite explication d un exercice corrigé sur les groupes
Bonjour à tous!
Voilà, j'ai fait un exercice dans un bouquin et il y a un point de la correction que je ne comprends pas:
****Soit D le groupe engendré par les matrices a et b
- Montrer qu'il a huit éléments ( ça c'est bon, pas de problème...)
- Déterminer ses sous-groupes.*****
Dans la correction, ils marquent:
D={e,a,a²,a^3,b,ab,a²b,a^3b} (là c'est bon)
Les quatre premiers éléments forment un groupe cyclique,qui contient un sous-groupe d'ordre 2: {e,b²}--> 
Puis, les 4 autres éléments sont d'ordre 2, ils engendrent chacun un groupe d'ordre 2.
Ensuite, ils disent qu'on peut trouver deux groupes d'ordre 4:
-le sous-groupe engendré par a² et b
-le sous-groupe engendré par a² et ab
Je crois avoir compris (après pas mal de temps) pourquoi c'est ça, Sinon, c'est que j'ai pas compris
Voilà voilà, un grand MERCI à qui pourra m'aider parce que là, je patauge...
C'est évidemment e, a², puisque b²=e
Pour le reste, le mieux est de dresser la table de multiplication: tu t'apercevras que le sous groupe engendré par a^3 et b est le même que celui engendré par a et b, à savoir D tout entier (en effet (a^3)^2=a^2, (a^3)^3=a...)
tandis que le sous groupe engendré par a² et b est composé de e, a², b et a²b
et que le sous groupe engendré par a² et ab est composé de e, a², ab et a^3b
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