Bonsoir Karim

Le corps est engendré comme -espace vectoriel par 1.

Kaiser

ça c'est une définition ? :s

En quelque sorte :

On voit bien que

Kaiser

pourquoi alors pour un K ev est ce que je pourrais pas écrire : E = {x.1E, xappartenant à E} = vect(1E) et conclure de même?

Non car E n'est pas un corps !

Kaiser

et donc 1E n'existe pas ? Autrement dit, puisqu'il n'est pas corps, qu'est ce que je n'est pas le droit de faire ?

effectivement, a priori, il n'existe pas.

je peux comparer cela au fait de multiplier deux vecteurs du plan ?

C'est-à-dire ?

Kaiser

est ce que je peux comparer cela au fait que j'ai dans le plan deux vecteurs AB et BC, et les multiplier entre eux ?

De quel produit parles -tu ?

Kaiser

Salut !


outre le fait que E n'est pas un corps (pour cela il faudrait définir une multiplication, telle que E soit stable par multiplication, qui soit distributive sur l'addition, et telle que tous les element autre que 0 ai un inverse) il y a un deuxieme probleme : la dimension d'un espace depend du corps de base.


n'importe qu'elle corps K est un K-espace vectorielle de dimension 1. (comme la montré Kaiser)

par exemple C est un C-espace vectorielle de dimension 1.
mais C est aussi un R-espace vectorielle de dimension 2 : (1,i) est une base.

et R est un R-espace vectorielle de dimension 1, mais c'est aussi un Q-espace vectorielle de dimension infinit ! etc etc...


donc toi ce que tu etait entrain de dire c'est que E est un E espace vectorielle de dimension 1. (meme si pour cela il faudrat que E soit un corps... mais admettons... ). ca na rien à voir avec le faire que E est un K-espace vectorielle de dimension n quelconque.

justement kaiser, je te parle d'un produit qui n'existe pas : celui de deux vecteurs du plan

petit détail Ksilver : pourquoi est ce que pour C qui soit C ev ne peut on parler de (1;i) comme base ? parceque 1 n'est pas un imaginaire pur ?

ba si C est un C-espace vectorielle, (1,i) est lié : i=1*i !


le corps de base, c'est les nombres par lesquel tu as le droit de multiplier tes vecteurs.

désolé ne m'en veux. mais pourquoi est ce que dans C qui soit R ev on ne peut écrire i = 1*i, puisque 1 est un réel ?

en détaillant un peu plus :


C est un R-espace vectorielle de dimension 2 : n'importe qu'elle nb complexe s'ecrit d'une et une seul facon a+ib (=a*1+b*i) avec a et b dabs R donc (1,i) est une base de C (sur R).


C est un C-espace vectorielle de dimension 1 : n'importe qu'elle nb complexe s'ecrit d'une et une seul facon z*1, avec z complexe, donc (1) est une base de C (sur C)

Encore que...
Le produit de deux vecteurs dans le plan peut être défini (par exemple, en identifiant à ).
En fait, en dimension finie, on peut peut-être se débrouiller pour faire ça.
Le problème est lorsque l'on considère un espace vectoriel quelconque dont on ne sait absolument rien ! Le produit n'est pas défini a priori mais il se peut que l'on puisse en définir un (si on connait cet espace vectoriel un peu plus).

Kaiser

désolé ne m'en veux. mais pourquoi est ce que dans C qui soit R ev on ne peut écrire i = 1*i, puisque 1 est un réel ? >>> le probleme c'est pas 1 mais i ici. la base est lié car on obtiens i en multipliant l'autre vecteur de la base par un scalaire : i. comme on a dit qu'on ce placait sur un C espace vectorielle, les scalaires c'est tous les complexe.