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petits Ker et Matrices

Posté par
mellepapillon 08-06-06 à 23:12

Bonsoir,

Je voudrais avoir votre avis sur ça : je dois montrer que Ker(A^t.A) \subset Ker(A).
Je me demande si ce que j'ai trouvé est correct :
Soit X \in M_{p, 1}(\R), alors X \in Ker(A) \Leftrightarrow AX = 0
De même, X' \in Ker(A^t.A) \Leftrightarrow A^t.A.X' = 0

Or si X' \in Ker(A), alors A^t.A.X' = A^t.0 = 0

Donc Ker (A^t.A) \subset Ker (A).

Est-ce correct ?

Merci d'avance pour vos lumières,

Melle Papillon

Posté par
kaiser Moderateurre : petits Ker et Matrices 08-06-06 à 23:25

Bonsoir Melle Papillon

En fait, je crois que tu viens de démontrer l'inclusion inverse.

Kaiser

Posté par
mellepapillonre : petits Ker et Matrices 08-06-06 à 23:32

Vous avez raison, j'ai montré l'autre sens :/
Je tourne en rond sur cette petite chose depuis un moment... ma vraie problématique derrière est comment montrer que rang(A^t.A) = rang(A). Auriez-vous une idée, s'il vous plaît ?

Melle Papillon

Posté par
kaiser Moderateurre : petits Ker et Matrices 08-06-06 à 23:33

Pour être plus précis, tu as considéré un élément X' qui était dans le noyau de A et tu as montré que x' appartenait au noyau de \Large{^{t}A.A}.

Posté par
kaiser Moderateurre : petits Ker et Matrices 08-06-06 à 23:35

Considèrons X un élément du noyau de \Large{^{t}A.A}. On a donc l'égalité \Large{^{t}A.A.X=0}.
A présent, multiplie cette relation par \Large{^{t}X} et regarde ce que ça donne.
Est-ce que ça t'aide ?

Posté par
kaiser Moderateurre : petits Ker et Matrices 08-06-06 à 23:36

Bien sûr, effectue cette multiplication à gauche.

Posté par
mellepapillonre : petits Ker et Matrices 09-06-06 à 07:35

Bonjour,

^t(X.A).A.X = 0
Ceci devrait me permettre de conclure, mais est-ce que on peut en déduire qu'alors A.X = 0 ?

Merci,

Melle Papillon

Posté par
kaiser Moderateurre : petits Ker et Matrices 09-06-06 à 08:53

Bonjour Melle Papillon

En fait, tu t'es trompée de sens. N'oublie pas que la transposition inverse l'ordre des matrices. Ainsi, ça serait plutôt \Large{^{t}{(AX)}AX=0}.
Maintenant, si l'on pose \Large{Y=AX}, Y vérifie l'égalité \Large{^{t}{Y}Y=0}.
Que peux-tu en déduire ?

Kaiser


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