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Niveau terminale
pgcd
Posté par louloub
bonjour je n'y arrive pas pouvez vous me montrer comment on démontre cela:
soit a, b ∈ N* ( a ou b non nuls), pour tout k ∈ Z*, pgcd(a;b)=pgcd(a;a-kb)
merci de votre aide 
soit d un diviseur de a et b
d divise a et b <=> d divise a et kb <=> d divise a et a - kb (<=> d est un diviseur de a et a - kb)
ce qui est vrai pour tous les diviseurs est vrai pour le plus grand
donc pgcd (a, b) = pgcd (a, a - kb)
salut
on peut aussi utiliser une règle qui dit pgcd(a,b)= pgcd(b,r) avec a=bk+r avec r < b (division euclidienne de a par b)
alors pgcd(a,b)=pgcd(b,r) comme r=a-bk alors pgcd(b,r) = pgcd(b,a-bk) et c'est aussi le pgcd de a et a-bk
pourquoi r = a - bk ?
k est un entier quelconque !!!
Citation :
Ce n'etait pas là dessus que portait ma remarque..
Ce n'etait pas là dessus que portait ma remarque..
désolé pas compris ... mais alors sur quoi ?
Citation :
d divise a et b <=> d divise a et kb
d divise a et b <=> d divise a et kb
L'implication de droite à gauche est fausse.
Citation :
soit a, b ∈ N* ( a ou b non nuls), pour tout k ∈ Z*, pgcd(a;b)=pgcd(a;a-kb)
soit a, b ∈ N* ( a ou b non nuls), pour tout k ∈ Z*, pgcd(a;b)=pgcd(a;a-kb)
Cet énoncé est faux.
(contre-exemple : a=k=2, b=1)
Si on veut un énoncé correct : soit a, b ∈ N, pour tout k ∈ Z, pgcd(a;b)=pgcd(a;b+ka)
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