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PGCD(a,b)=?PGCD(a-b,b) ?
Bonsoir tout le monde !
J'aurais besoin de votre aide pour un exercice de spécialité TS:
Soient a et b deux entiers naturels non nuls, montrer que:
PGCD(a,b)=?PGCD(a-b,b)
J'ai réussi les applications numériques de la formule, mais pas à la démontrer de façon générale. Un coup de main serait la bienvenue 
bonsoir....voila une mèthode:
si d est le PGCD de (a;b),,
c'est un diviseur de a et de b et s'il y a un autre diviseur f commun à a et à b alors d est un diviseur de f....
on montre que:
1. d est un diviseur commun à a-b et à b
2.s'il y a un autre diviseur f commun à a-b et à b alors d est un diviseur de f....
Bonjour;
si ∂=PGCD(a;b) alors a=∂a' et b=∂b' avec a' et b' premiers entre eux
alors a-b=∂a'-∂b'=∂(a'-b') donc ∂ =PGCD(a-b;b)
ce n'est pas vraiment nécessaire, mais quand on parle de diviseurs, on a tendance à penser à des nombres entiers naturels.....
personnellement, je préfère qu'on pose a-b positif...
Merci de ta réponse Labo.
J'ai tout compris sauf la conclusion en fait. Il y aurait une petite ligne intermédiaire entre
a-b=∂a'-∂b'=∂(a'-b')
et
donc ∂ =PGCD(a-b;b)
Merci de m'éclairer 
Ah je crois que c'est venu.
d est un diviseur de a'-b' et de b donc c'est leur PGCD 
Mais en fait, on pourrait dire la même chose avec a ??
Et il me semble qu'on en est resté au petit 1 proposé par esta-fette. Le 2, je ne comprends pas trop ce qu'il faut faire, le résultat m'a l'air établi.
1.
si d est un diviseur de a et de b....il existe k et k' dans N tels que
a=k d
b=k.d
donc a-b= (k-k')d
donc d est diviseur de a-b...
on a établi le 1. car d diviseur de a et a-b
pour le 2.
si on a un autre diviseur d' de a-b et de b...., il existe 2 entiers k et k'
a-b=k.d' et b=kd'
donc (a-b)+b= kd'+k'd'= (k+k')d'
donc a=(k+k')d'
donc d' diviseur de a, comme il l'est déja de b, on a puisque d est PGCD de a et b:
d' diviseur de d.
CQFD
Comment tu savais que j'adorais finir par CQFD ? trop gentil
Merci beaucoup, c'est clair et limpide !
Merci de ta patience.
En reprenant ton raisonnement, j'ai néanmoins une petite question.
Dans le 1, on n'a pas montré que d est le PGCD. Pourquoi l'utiliser en résultat admis ?
Et tu utilises deux fois k et k', c'est à titre générique ? J'aurais dissocié puisque dans le 2, c'est pas forcément les mêmes k et k'.
Merci de ton dernier petit éclaircissement
Disons que j'ai l'impression que d' pourrait très bien être le PGCD et pas d ... Donc voilà. C'est un peu flou
BONJOUR,
Je veux montrer que le PGCD de a etb est aussi PGCD de a-b et b.
Donc j'établis que le PGCD que j'appelle d est bien un diviseur commun de (a-b) et b
1.
si d est un diviseur de a et de b....il existe k et k' dans N tels que
a=k d
b=k.d
donc a-b= (k-k')d
donc d est diviseur de a-b...
on a établi le 1. car d diviseur de a et a-b
Ensuite je montre que ce nombre d : le PGCD(a,b) est le plus grand parmi les diviseurs communs de (a-b) et b.
pour que ça aille mieux à écrire et comprendre, je garde les mêmes noms k et k'.
pour le 2.
si on a un autre diviseur d' de a-b et de b...., il existe 2 entiers k et k'
a-b=k.d' et b=kd'
donc (a-b)+b= kd'+k'd'= (k+k')d'
donc a=(k+k')d'
donc d' diviseur de a, comme il l'est déja de b, on a puisque d est PGCD de a et b:
d' diviseur de d.
Pour résumer, les diviseurs communs de (a-b) et b sont des diviseurs de d=PGCD(a,b)
et d= PGCD(,b) est un diviseur commun de (a-b) et b,
donc d=PGCD(a,b) est le plus grand des diviseurs communs de (a-b) et b.
Sic Transit Gloria Mathématicarum.
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