bonjour !
Tu as dû faire une erreur en montrant que divise car si on a puis et .

Fais voir tes calculs ou vérifies !

salut

il suffit de prendre a = b = 1 ....

Merci à tous les deux pour vos réponses !

En effet, il est fort probable que j'ai fait une erreur.

En fait, pour montrer que d divise D, pas de soucis, puisque que d divise a et d divise b, alors d divise n'importe quelle combinaison linéaire de a et b.

Par contre pour D divise d, je crois savoir où je me suis trompé, voici mon raisonnement :

D = PGCD (7a +8b ; 3a +7b)
==> D divise 7a + 8b et D divise 3a + 7b
==> D divise (7a +3b).3 - (3a +7b).7
==> D divise (-25b)

Jusque là je pense que c'est bon, ensuite :

D divise également (7a + 8b).7 - (3a + 7b).8
==> D divise 25 a

Et voilà où je pense avoir fait l'erreur :
J'ai dit par la suite que :

D divise donc 25 a - (-25b)
==> D divise 25 a +25b
==> D divise 25 (a+b)
==> D divise a+b
==> D divise a et D divise b

Mais il me semble que je n'ai pas le droit de dire ça, non ?

Et de plus Luzak, le D = 25 que tu trouves en prenant a=1 et b= 21 a-t-il un rapport avec le 25 que je trouve pour : "D divise 25a et D divise -25b" ?

Ensuite, je me rends compte qu'avec ta réponse et celle de  Carpediem, cela fait déjà deux possibilités ! Alors, auriez-vous une méthode pour trouver toutes les réponses rigoureusement ?

Merci de votre aide

oui D divise 25a et 25b ne te permet de rien dire de plus ....

tu peux le vérifier avec mon exemple : a = b = 1

...

Oui en effet, je m'en suis rendu compte en écrivant le message, et ton exemple vient infirmer ce que j'avais trouvé en résultat final.

Mais du coup, je suppose que l'on peut se débrouiller autrement qu'en tâtonnant pour trouver tous les exemples viables, non ?

on sait que D divise 25a et 25b donc 25d (car il existe u et v tels que au + bv = d par définition du pgcd)

il suffit donc de choisir a et b tels que D ne divise pas d pour être sur que D <> d

et en généralisant mon exemple prend a = b = n ....

D'accord je vois ! Merci beaucoup de ton aide !
Mais j'ai une autre question : tu dis qu'il "suffit de choisir a et b tels que D ne divise pas d". Or, on a vu précédemment que D ne divisait pas d de toute façon, mais bien 25d, comme tu l'as dit, non ?

Mea culpa pour la bêtise que je viens de dire,  on cherche bien les entiers a et b tels que D soit différent de d....
Mais cependant, le fait que D divise 25d implique-t-il que D divise d ? J'ai un peu de mal à saisir...

ce n'est pas parce que D divise 25d qu'il ne peut pas diviser d ...

ensuite il n'a pas été montré que D ne divisait pas d ....

à voir ....

Ensuite, quant à la généralisation avec n=a=b, j'obtiens donc :

d=PGCD (n ; n) = n
D = PGCD (15n ; 10n) = n.PGCD (15 ; 10) = 5n

Cela signifie donc que pour tous entiers relatifs a et b tels que a=b, alors dD ?

ben est-il possible que n = 5n ?

Non bien sûr
Mais alors, d'où sort le a=1 et b=21 de Luzak ? Cela signifie qu'il y a d'autres solutions que (n ; n), non ?

Pour enlever la note de mystère qui entoure ma réponse, j'ai cherché à obtenir un D diviseur de 25 et j'ai résolu l'équation . Un couple de Bézout pour étant , en multipliant par 3 j'ai obtenu le fameux 21 (enfin quelque chose de ce genre).

Du coup pour trouver d'autres couples intéressants tu peux suivre une voie analogue mais je n'ai pas de démarche systématique à te présenter pour le moment.

Toujours pas de solution donnant tous les couples mais quelques pistes.

Pour commencer on peut chercher uniquement les couples premiers entre eux tels que . En multipliant un tel couple par on a une solution où .
Inversement si un couple est solution avec , le couple est solution avec des entiers premiers entre eux.

Pour chercher avec se rappeler que doit diviser . Donc pour ou il suffit de résoudre des équations de la forme avec ou .

Les choses se compliquent si on veut ou et pour le moment je ne sais pas si pour chaque il y aura une solution.

Merci de ta réponse Luzak, mais malheureusement, je crois que je vais devoir en rester au couple comme solution  car je n'ai pas encore vu ce type d'équations que tu utilises dans ta première réponse(diophantiennes, non ?). A vrai dire, je n'ai pas encore vu les nombres premiers, le devoir maison nous a été donné juste à la fin de notre chapitre sur le PGCD, et c'est tout.

En tout cas, un immense merci à toi et à Carpediem, vous m'avez beaucoup aidé

de rien