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PGCD de deux entiers

Posté par SnakeEyes (invité) 29-11-05 à 20:19

Bonsoir à tous!

J'ai un exercice en plusieurs parties mais je n'arrive pas à résoudre la dernière...
Le début du sujet est :

"Soit n un entier
A=5n-9 et B=2n-6"

Je ne marque pas les autres questions car elles ne sont pas utiles pour résoudre la dernière qui est :
"Déterminer, selon les valeurs de n, le PGCD de A et de B"

En utilisant le lemme d'Euclide, j'arrive à pgcd(A;B)=pgcd(n+3;12) mais après je suis bloqué :s

Merci de m'éclairer sur cette question!

Posté par
pedrore : PGCD de deux entiers 29-11-05 à 20:24

pgcd(A,B)=6

Posté par
H_aldnoerre : PGCD de deux entiers 29-11-05 à 20:45

Bonsoir,

une réponse plus constructive :

posons \rm \blue d, le plus grand commun diviseur de \rm A et \rm B, autrement dit :
   \rm pgcd(A,B)=d

donc : \rm d|A et \rm d|B

donc \rm d divise toute combinaison linéaire entière de \rm A et \rm B
(c'est une propriété du cours qui dit que si un nombre en divise deux autres alors il divise toute combinaison linéaire entière de ces deux nombres)

\Rightarrow la méthode consiste ici a trouver un combinaison linéaire du type \rm \alpha A-\beta B qui "annule le n"

C'est a dire telle que :
   \rm \alpha (5n-9)-\beta (2n-6)

donne un nombre qui ne dépend pas de \rm n.

ensuit il suffit de réfléchir ...

Posté par
franzre : PGCD de deux entiers 29-11-05 à 21:25

Je trouve que tu étais bien parti.
Une fois que tu as écrit :
pgcd(A;B)=pgcd(n+3;12) il suffit de considérer n sous la forme n = 12 k + m \;\; (m\in [[0,11]])

une fois cette considération faite pgcd(A;B)=pgcd(n+3;12)=pgcd(m+3;12)

\red\bullet Si m \in\{2,4,8,10\}        pgcd(A;B)=1
\red\bullet Si m \in\{7,11\}              pgcd(A;B)=2
\red\bullet Si m \in\{0,6\}              pgcd(A;B)=3
\red\bullet Si m \in\{1,5\}              pgcd(A;B)=4
\red\bullet Si m =3                   pgcd(A;B)=6
\red\bullet Si m =9                   pgcd(A;B)=12


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