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PGCD en fonction de n
bonjour,
soit n un entier naturel non nul, different de 1.
On pose A=n-1 ; B=n² - 3n + 6
1a) Montrer que le PGCD de A et B est égal au PGCD de A et 4.
b) Déterminer, suivant les valeurs de n, le PGCD de A et B.
2) Pour quelles valeurs de n, (n²-3n+6) / ( n - 1 ) est il un entier naturel
Donc pour le 1 a ) j'ai ecrit la division euclidienne de B par A
ça me donne : n² - 3n + 6 = ( n - 1 ) ( n - 2 ) + 4
Donc d'après le lemme d'euclide PGCD ( A; B ) = PGCD ( B ; 4 )
Pour le b) , on differencie lorsque n est pair et n impair
mais finalement ça marche pas tout le temps, donc j'aimerais bien un peu d'aide pour la b) et le 2
merci
tu cherche le PGCD de B et 4...
les diviseur positif de 4 sont 1,2 et 4...
donc sois B est un multiple de 4 (donc b=4k) danqu'elle cas PGCD =4
sois B est multiple de 2 (donc b=4k+2) mais pas de 4 alors PGCD =2
sois B est impaire alors (donc B=4K+1 ou 4K+3) PGCD =1
posons n = 4k +r ou r est le reste de la division de n par 4... (0,1,2 ou 3 quoi...) K entier relatif
B=n² - n + 6 = (4k+r)² - 4k -r+6 = 16 k² + 8kr + r² - r +6 = 4 (4k² + 2kr+1) + r²-r+2
pour r = 0 (donc n = 4k) le reste de la division de B par 4 vaut 2 donc PGCD = 2
pour r=1 (donc n=4k+1) le reste de la dicision de B est aussi 2 donc PGCD=2
pour r=2 (donc n=4k+2) le reste de la division de B par 4 vaut 0 (4 en fais...) donc pgcd =4
pour r=3 (donc n=4k+3) le reste est 8 donc 0, pgcd = 4
bon ta le raisonement sauf que je me suis planter dans l'expresion a prendre au debut, et je dois partir j'ai pas le temps de recommencer... mais tu vois comment il faut faire
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