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PGCD et suites
Bonjour a tous
Voila j'ai cette exo en specialité et j'aimerai un peu d'aide :
On note U la suite définie par U0=0, U1=1 et pour tout entier naturel n, U(n+2)=3U(n+1)-2Un
J'ai demontré dans les premieres question que Un est un entier naturel, U(n+1)=Un + 1 , que deux termes consécutifs de U sont premiers entre eux, que Un=2^n - 1
et que U(n+p)=Un(Up + 1) + Up.
Il me demande maintenant d'en deduire pour tout couple (n;p) d'entiers naturels :
PGCD(Un,Up) = PGCD(Un,U(n+p))
Puis d'apres cette propriete en deduire que PGCD (Ub,Ur) = PGCD (Ua,Ub) avec a et b deu entiers naturels non uls et r le reste de la div euclidienne, ca j'ai reussi a le faire puis il demande ensuite de deduire que :
PGCD(Ua,Ub) = U(PGCD(a,b))
Voila merci de votre aide.
Il me demande maintenant d'en deduire pour tout couple (n;p) d'entiers naturels :
PGCD(Un,Up) = PGCD(Un,U(n+p))
Et bien, comme U(n+p)=Un(Up + 1) + Up
On a PGCD(Un,U(n+p))=PGCD(Un,Un(Up + 1) + Up)
Or Un(Up+1) est multiple de Un, donc PGCD(Un,Un(Up + 1) + Up)=PGCD(Un, Up). Pour la démonstration, je pense que c'est plus rigoureux d'utiliser le théorème d'euclide, mais si tu as compris le principe, tu devrais pouvoir le faire...
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