Bonjour, j'aimerais que quelqu'un l'aide car j'ai quelques difficultés à faire ce DM de spé maths.
Merci d'avance à ceux qui en auront le courage ^^



Le but de l'exercice est de démontrer le résultat du cours qui affirme que pour a et b deux entiers naturels non nuls, il existe des nombres u et v tels que au+bv soit le PGCD de a et b. On ne pourra donc évidemment pas utiliser ce résultat ni ses conséquences ( théorème de Gauss notamment) pour le résoudre

Soient a et b deux entiers naurels non nuls. On note E l'ensemble des entiers relatifs de la forme au+bv pour u et v dans Z

E={ au+bv | u € Z, v € Z }

1) Montrer que a et b appartiennent a E
2) Justifier qu'un diviseur commun a a et b divise tous les éléments de E
3) L'ensemble E' des éléments strictement positifs de E admet un plus petit élément que l'on note D. Montrer que a et b sont des multiples de D

Indication : Montrer que le reste de la division euclidienne de a par D est ds E et utiliser la minimalité de D.

4) En déduire que D=PGCD (a;b) et conclure