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PGCD/PPCM d'une famille de polynômes

Posté par
rosto 15-07-11 à 01:35

Bonsoir,

En relisant un cours de maths Sup dans un livre, j'ai trouvé un résultat qui me semble bizarre, et j'aimerais avoir votre avis :

\\ \textup{Soit }n\in \mathbb{N}^{*}, (P_1,...,P_n)\in (\mathbb{K}[X]\setminus \left \{ 0 \right \})^{n}, (a_1,...a_n)\in(\mathbb{K}\setminus \left \{ 0 \right \})^{n}.\textup{ Alors} \\

PGCD((a_iP_i)_{i\in[\![1;n]\!]})=PGCD((P_i)_{i\in[\![1;n]\!]})

Mais, je trouve que PGCD(X^3+X,X^2+1)=X^2+1 \textup{ et } PGCD(5(X^3+X),5(X^2+1))=5(X^2+1) ...

Merci de m'apporter des précisions !

Posté par
DOMOREAPGCD/PPCM d'une famille de polynômes 15-07-11 à 08:20

Bonjour,
les éléments de K* sont les inversibles de l'anneau K[X].

Posté par
freniclere : PGCD/PPCM d'une famille de polynômes 15-07-11 à 08:34

Bonjour,
En fait, le PGCD n'est défini qu'à la multiplication près par un élément inversible de l'anneau considéré.
Dans , les inversibles sont +1 et -1.
Dans [X], les inversibles sont les réels non nuls.
Pour rendre le PGCD unique, on impose souvent une condition supplémentaire : dans , qu'il soit positif, dans [X], qu'il soit unitaire.
C'est ce qui est fait apparemment dans ton livre.

Posté par
freniclere : PGCD/PPCM d'une famille de polynômes 15-07-11 à 08:35

Bonjour DOMOREA

Posté par
rostore : PGCD/PPCM d'une famille de polynômes 15-07-11 à 19:58

Merci pour la réponse ! En effet, dans ce livre on impose la normalisation du PGCD.

Bonne soirée !

Posté par
freniclere : PGCD/PPCM d'une famille de polynômes 16-07-11 à 23:00

De rien


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