En fait, tu établis une démonstration dite par l'absurde.  Ce genre de démonstration consiste à nier la thèse et à montrer alors que l'hypothèse est impossible ou en contradiction.
Si N est divisible par p_i, alors N est un multiple de p_i et donc N=k*p_i. Comme N=p₁p₂...p_i...p_n+1, pi divise aussi p_ik-(p₁...p_n).  Or ce dernier nombre vaut 1, ce qui contredit la définition d'un nombre premier : c'est un nombre (différent de 1) qui n'est divisible que par 1 et par lui-même.  Il est donc absurde de supposer qu'il y a un nombre fini de nombres premiers : il y en a donc un nombre infini.