Inscription / Connexion Nouveau Sujet
pgcd spé maths
Bonjour, je suis bloqué sur un exo de spé maths comportant des pgcd, j'ai du mal à comprendre.
Voici l'exercice :
Soit n un entier. On pose a=2n+1 et b=n+3. On note d le pgcd de a et b.
1) Montrer que : d=pgcd(n-2;5)
2) En déduire que d appartient à l'ensemble {1,5}
3) Déterminer la valeur de d en fonction de l'entier n
4) Pour quels entiers naturels n la fraction est-elle irréductible ?
Pourriez-vous m'aiguiller s'il vous plait ?
J'ai trouvé :
2n + 1 = (n+3) * 1 + (n-2)
n + 3 = (n-2) * 1 + 5
Donc d=pgcd(n-2;5)
Ce sont les n qui me dérangeaient, j'avais pas pensé à simplement rééquilibrer avec le reste...
La 1) était en fait simple par contre la 2) je vois pas vraiment.
Est-ce qu'il faut dire que 5 est premier donc divisible seulement par 1 et lui-même et que par conséquent, quelque soit la valeur de n, d={1,5} ?
pgcd(n - 2 ; 5)
Plus grand diviseur COMMUN à n - 2 ET 5.
bien y a que deux possibilités , si n - 2 est multiple de 5 alors le pgcd vaut 5
par contre si n - 2 n'est pas multiple de 5, le pgcd vaut 1 .... CAR D(5) = {1 ; 5} dans 
....
Pour la c) je dirais :
pgcd(n-2;5) = 1 si 0 < n-2 < 5 soit 2 < n < 7.
pgcd(n-2;5) = 5 si n-2 = 5 soit n = 7.
C'est ça ?
non...
c'est 5 le reste... fais le travail inverse
d = pgcd(n - 2 ; 5)
d 
{1 ; 5}
d = 1 alors 5 et n - 2 sont premiers entre eux.
n - 2 
5k
n 5k + 2
d = 5 alors 5 divise n - 2
n = 5k + 2
mais ça marche que lorsque 5 est le reste de la division euclidienne de n + 3 par n - 2
c'est à dire pour n > 7...
maintenant traite pour les autres n.
oui....
tu ne comprends pas à quel niveau ?
1) tu as fais division euclidienne.
n + 3 = 1(n - 2) + 5
5 EST LE RESTE, SI et seulement si 5 
0
ET n - 2 > 5
soit n > 7
2) on a vu précédemment que d = pgcd(a ; b) = pgcd(n - 2 ; 5)
ça signifie en toute logique que d divise 5. Soit que d D(5) = {1 ; 5}
3) d ne peut prendre que deux valeurs (vu précédemment) 1 ou 5
Si d = 5, alors (n - 2) est un multiple de 5 (SInon comment obtiendrais t on un pgcd égal à 5)
donc n - 2 = 5k
n = 5k + 2
Si d = 1 , (n - 2) n'est pas un multiple de 5 (on peut dire que n - 1 et 5 sont premiers entre eux)
soit n - 2 5k
n 5k + 2
--------
en faite je pense que on a traité tout les cas.... je sais même pas pourquoi j'ai dis qu'il manquait plus qu'à traiter pour n < 7 ... 
Si d = 1 , (n - 2) n'est pas un multiple de 5 (on peut dire que n - 1 et 5 sont premiers entre eux)
n - 2
non....
partir réflexion: quel condition pour qu'une fraction soit irréductible ????
exemple : 10/7
8/3
25/7
6/5 .....
Je dis peut-être une bêtise... Il faut que le numérateur et le dénominateur soient premiers entre eux ?
On sait que pgcd(2n+1;n+3)=pgcd(n-2;5)
On a pgcd(n-2;5)= 1 ou 5.
Si pgcd(n-2;5)=1 alors on a dit que n-2 n'est pas un multiple de 5.
donc n-25k donc n5k+2.
c'est donc pour tout n 5k + 2
(tout les entiers ne pouvant pas se mettre sous la forme 5k + 2) avec k 
ok ?
par exemple, 3 ne peut pas se mettre sous la forme
ET
7/6 irréductible
4 aussi ne peut pas
ET 9/7 irréductible
5 ne peut pas
ET 11/8 irréductible
6 peut pas ET
13/9 irréductible
7 peut se mettre sous la forme 5 + 2 (k = 1)
ET 15/10 est réductible ....
Annuler
connectez vous