Inscription / Connexion Nouveau Sujet
Niveau terminale
Partager :

PGCD spé maths

Posté par
brownie
24-02-15 à 15:47

Bonjour,
Voici une question dans un exercice d'arithmétique me pose des problèmes. En effet la réponse me semble évidente mais je ne sais pas comment la rédiger correctement.
Voila l'énoncé :
a = n^2 + et b= n(n^2 -1) n>0
c = PGCD(a ; b)
Montrer que a et n sont premiers ( c'est bon)
En déduire que c = PGCD(a ; n^2 - 1)
J'ai mis que comme c divise a et a premier avec n alors c premier avec n et donc d'après le théorème de Gauss c divise n^2 - 1 d'où c = PGCD(a ; n(n^2 -1)) = PGCD(a ; n^2 - 1) mais je ne ne suis pas certaine de cette justification...

Posté par
watik
re : PGCD spé maths 24-02-15 à 16:00

bonjour
l'expression de a n'est pas complète

Posté par
watik
re : PGCD spé maths 24-02-15 à 16:30

d'après ma compréhension de ton énoncé on devrait avoir a=n²+1
dans ce cas
a=n²+1 donc a-n²=1 et d'après th de Besout a et n sont premier entre eux

c divise a et c divise b
comme a et premier avec n donc c est premier avec n
comme c divise b=n(n²-1) donc d'après le th de Gauss c divise n²-1
donc c divise PGCD(a;n²-1)
inversement PGCD(a;n²-1) divise a et divise b=n(n²-1) donc PGCD(a;n²-1) divise PGCD(a;b)=c
donc
PGCD(a;b) divise PGCD(a;n²-1)
et PGCD(a;n²-1) divise PGCD(a;b)
donc
PGCD(a,b)=PGCD(a;n²-1)

RMQ
a=n²+1=(n²-1)+2 donc PGCD(a;n²-1)=PGCD(a;2)
comme 2 est premier donc PGCD(a;b)=1 ou =2

Posté par
Cherchell
re : PGCD spé maths 25-02-15 à 10:55

On ne le demandait pas, mais à partir de PGCD(a ; 2) = PGCD(a ; b) on pouvait déterminer PGCD(a ; b) en distinguant les cas n pair (donc a impair) et n impair (donc a pair)

Posté par
brownie
re : PGCD spé maths 26-02-15 à 15:28

Merci pour vos réponses, pensez vous qu'il est nécessaire que je démontre l'implication a est premier avec n et c divise a => c est premier avec n ?

Posté par
Cherchell
re : PGCD spé maths 26-02-15 à 16:18

cela ne fait pas partie du cours donc théoriquement oui
a est premier avec n donc d'après le théorème de Bézout, il existe deux entiers u et v tels que a u + n v = 1
c divise a donc il existe un entier q tel que a = c q donc en remplaçant : c q u + n v = 1
c et n sont premiers entre eux (th de Bézout)



Vous devez être membre accéder à ce service...

Pas encore inscrit ?

1 compte par personne, multi-compte interdit !

Ou identifiez-vous :


Rester sur la page

Inscription gratuite

Fiches en rapport

parmi 1742 fiches de maths

Désolé, votre version d'Internet Explorer est plus que périmée ! Merci de le mettre à jour ou de télécharger Firefox ou Google Chrome pour utiliser le site. Votre ordinateur vous remerciera !