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PGCD Ts
salut tout le monde
voici l'exercice:
soit n un entier naturel quelconque, an= n+7 et bn= 3n+4, on note Dnle PGCD de an et bn
a) calculer 3an-bn, et démontrer que Dn est un diviseur de 25.
3 an-bn = 3 (n+7) - (3n-4)
= 3n + 21 - 3n + 4
= 25
donc 3an+ (-1)bn =25
j'en déduit PGCD (3an,bn)=25
et là je suis bloqué!
b) on considére aussi dn= PGCD (an,25). Démontrer que Dn=dn=PGCD(an,25)
d'apres le lemme d'Euclide
bn= 3an - 25
PGCD (an,bn)=PGCD (dn,25)=Dn=dn
c) Quelles sont les valeurs possibles de dn?
Sdn = { 1;5;25 }
(faut il justifier? si oui je ne sais pas comment expliquer!)
d) Démontrer que si 5 divise dn, alors 5 divise aussi an et que l'on aura n congrue à 3 (mod 5)
dn = PGCD (an,25)
dn | an et dn | 25
or 5 | dn
donc 5 | dn (et 5 | 25! ) (est ce que je peux affirmer ca directement? 
5| n+7
n+7 = (congrue) 0 (mod5)
n = -7 = 3 (mod5)
e) réciproquement démontrer que si n congrue à 3 (mod5) on aura 5 | dn
dn | an
dn | n+7
n = (congrue) 3 (mod5)
n+7 = 0 (mod5)
donc 5 | n+7
5 | an
de + 5 | 25
donc par théoréme 5 | PGCD (an,25
5 | dn
f) montrer que dn= 25 seulement pour un certaine congruence de n vérifiée
dn=25
si 25 | an
si an = (congrue) 0 (mod5)
n+7 = 0 (mod5)
n = 18 (mod5)
voici mon exercice, j'aimerai que vous me corigiez et améliorer la présentation peut etre joindre des phrases je ne sais pas, car mon prof tient à la rédaction! merci à vous et bonne année
salut
3an-bn = 25 donc bn = 3an-25 et donc pgcd(an,bn)= pgcd(an,3an-25)= pgcd(2an-25,an)=pgcd(an-25,an)=pgcd(25,an)=Dn
donc Dn divise aussi 25 , (mais rien ne dit que Dn = 25 à ce stade)
a. 3 a n - b n = 3 (n + 7) - (3 n - 4) = 25
D n est le PGCD de a n et b n donc D n divise a n et b n donc D n divise 3 a n - b n, donc D n divise 25
b. 3 a n - 25 = b n donc PGCD (a n , b n ) = PGCD (a n , 3 a n - 25) = PGCD (a n , 25) = d n
c. d n est un diviseur de 25 donc d n {1 ; 5 ; 25}
d. d n = PGCD (a n , 25) donc d n divise a n
5 divise d n et d n divise a n donc 5 divise a n.
n + 7 ≡ 0 (mod. 5) or 7 + 3 = 10 donc 7 + 3 ≡ 0 (mod 5) donc n + 7 + 3 ≡ 3 (mod. 5) soit n ≡ 3 (mod. 5)
e. si n ≡ 3 (mod. 5) alors a n ≡ 7 + 3 (mod. 5) soit a n ≡ 0 (mod. 5)
5 divise a n et 25 donc 5 divise leur PGCD, d n
f . d n = 25 si et seulement si n + 7 ≡ 0 (mod. 25) si et seulement si + 7 + 18 ≡ 18 (mod. 5) si et seulement si n ≡ 18 (mod. 25)
Soit n un nombre entier, n dans la division de n par 5, il existe deux entiers q et r tels que n = 5 q + r avec 0 ≤ r < 5
Si n = 5 q alors n n'est pas congru à 3 modulo 5 donc 5 ne divise pas d n donc d n = 1
Si n = 5 q + 1 alors n n'est pas congru à 3 modulo 5 donc 5 ne divise pas d n donc d n = 1
Si n = 5 q + 2 alors n n'est pas congru à 3 modulo 5 donc 5 ne divise pas d n donc d n = 1
Si n = 5 q + 4 alors n n'est pas congru à 3 modulo 5 donc 5 ne divise pas d n donc d n = 1
Si n = 5 q + 3 alors n est congru à 3 modulo 5 donc 5 divise d n donc d n = 5 ou d n = 25
Soit k un entier naturel, dans la division de k par 5, il existe deux entiers q' et r' tels que k = 5 q' + r' avec 0 ≤ r' < 5
Si k = 5 q, alors n = 25 q' + 3 donc n n'est pas congru à 18 modulo 25 donc 25 ne divise pas d n donc d n = 5
Si k = 5 q + 1, alors n = 25 q' + 8 donc n n'est pas congru à 18 modulo 25 donc 25 ne divise pas d n donc d n = 5
Si k = 5 q + 2, alors n = 25 q' + 13 donc n n'est pas congru à 18 modulo 25 donc 25 ne divise pas d n donc d n = 5
Si k = 5 q + 3, alors n = 25 q' + 18 donc n est congru à 18 modulo 25 donc 25 divise d n donc d n = 25
Si k = 5 q + 4, alors n = 25 q' + 23 donc n n'est pas congru à 18 modulo 25 donc 25 ne divise pas d n donc d n = 5
Conclusion :
d n = 1 si et seulement si n + 7 n'est pas divisible par 5
d n = 5 si et seulement si n + 7 est divisible par 5 mais pas par 25
d n = 25 si et seulement si n + 7 est divisible par 25
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