Bonjour,



a) Soit p le pgcd (5n^3 - n ; n+2) => 5n^3 - n  = ap
                                                                 n
+ 2      = bp


5n^3 - n = (n+2)(5n^2 -10n +19)  - 38  (1)

=> 38 =  (n+2)(5n^2 -10n +19)  - (5n^3 - n )
           =  (5n^2 -10n +19) bp - ap = p*A
=> p divise 38

Maintenant il faut prouver que p est le pgcd (n+2, 38)

Raisonnons par l'absurde: soit q ce pgcd et q > p

=> n+2 = cq et 38 = dq

Dans (1) 5n^3 - n  = cq(5n^2 -10n +19)  - dq
                                = Cq

=> q divise   5n^3 - n   et aussi n+2 . Or p est le pgcd (5n^3 - n
, n+2) et q>p ce qui est impossible => q n'existe pas => p est
aussi le pgcd (n +2, 38)


b) (Je ne suis pas trop sur de mon raisonnement sur cette question)

d'après (1) => 38 = p*(n+2) => valeurs possibles de n+2 sont
1,2,19 ou 38 => n = 0, 17  ou 36

c) Dans (1), il faut rechercher le pgcd (n+2, 38)

Les diviseurs possibles de 38 sont 1,2,19 et 38

=> pgcd (5n^3 - n ; n+2) = 1,2,19 ou 38

d)
pgcd (n+2, 38)  = 19 <=> n+2 = 19k <=> n =19k -2


Remarques:
pgcd (n+2, 38)  = 2  <=> n+2 = 2l <=> n =2k
pgcd (n+2, 38)  = 38 <=> n+2 = 38k <=> n =38k -2


A+