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plan tangent a une sphère
Bonjour,
je cherche a trouver l'équation d'un plan tangent à une sphère mais je ne suis pas sur de mon résultat:
soit S la sphère d'équation cette sphère est de rayon et a pour centre l'origine O(0,0,0)
pour tout point M(a,b,c) appartenant à la sphère un vecteur normal au plan tangent est le vecteur OM
Est-il exact d'écrire que l'équation du plan tangent est ax+by+cz=0 ?
merci de votre aide.
Bonjour.
Effectivement, si M(a,b,c) est sur la sphère, le vecteur OM sera normal au plan tangent (T).
Pour tout point P(x,y,z) de (T), on a donc les vecteurs OM et MP qui sont orthogonaux.
Alors leur produit scalaire vaut 0. Cela donne :
a(x-a) + b(y-b) + c(z-c) = 0
ax + by + cz = a² + b² + c²
Or, M étant sur la sphère, OM² = 1, donc a² + b² + c² = 1.
Finalement : (T) a pour équation ax + by +cz = 1.
Merci raymond,
j'en conclus la généralité suivante : Une sphère de centre O et de rayon R a comme pour plan tangent en un point M (a,b,c) appartenant à S l'équation suivante:
bonne fin de journée.
Petite question :
Une méthode bien plus longue et périlleuse aurait pu emmener au même résultat je pense.
En passant par les coordonnées sphériques , on en déduit l'équation du plan. et en réexprimant les theta et phi en fonction de x,y,z , on doit normalement retrouver l'équation cartésienne non ?
Ce que je ne sens pas trop, c'est l'équation d'un plan ne passant pas par l'origine en coordonnées sphériques.
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