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Plan tangent à une sphère
Plan tangent à une sphère
Bonjour/Bonsoir,
Pour le Lundi 19 Mai, j'ai un Devoir Maison (DM) à rendre. Cependant, il y a 3 questions que je n'arrive pas à résoudre ...
Voici le sujet:
Dans l'espace rapporté dans un repère orthonormé (), on considère l'ensemble (
) d'équation :
.
1. Démontrer que () est une sphère dont on donnera les coordonnées du centre
et le rayon.
2. Démontrer que la sphère () et la droite
passant par le point (3;1;2) et de vecteur directeur
(
) ont un seul
point en commun, que l'on nomme .
3. En raisonnant dans le plan (), en déduire que les droites (
) et
sont perpendiculaires.
4. Déterminer l'intersection de () avec la droite
' de représentation paramétrique:
,
.
5. a) Démontrer que la droite () est perpendiculaire au plan
défini par les deux droites
et
'.
b) En déduire que pour tout point , distinct de
, du plan
, on a
>
.
c) Qu'en conclut-on pour le plan et la sphère (
) ?
Voici les réponses que j'ai trouvé:
1. On a donc la sphère () de centre
dont les coordonnées sont (2;0;-3) et de rayon R =
.
2. On a la droite avec comme représentation paramétrique:
Et le point dont les coordonnées sont : (2;3;-1).
Je n'arrive pas à faire les autres questions...
Je sais juste que pour la 3., il faut que je calcule le produit scalaire, avec le vecteur directeur, mais je n'arrive pas à trouver les bons termes à employer ...
Ensuite pour la 4., la 5.a), la 5.b) et la 5.c) je n'ai aucune idée de comment faire.
Merci à tout ceux qui m'aideront! 
Désolée pour la réponse tardive, oui, j'ai déterminé les coordonnées du vecteur B
Mais pour la 4., j'ai pensé au début qu'il fallait que je remplace ,
et
dans l'équation de (
) par la représentation paramétrique de
'
Mais ça n'a pas de sens, du moins, je pense que ce n'est pas ça.
bonjour
pour la 3) je ne pense pas qu'il faut faire des calculs de composantes de vecteurs. Car ce n'est pas l'esprit de la question.
dans le plan (ABW) ; je note W=Oméga
l'intersection avec la sphère (E) est un cercle (C) méridional car il passe par le centre de (E)
délta=(AB) est tangente au cercle (C). donc (AB) est perpendiculaire au rayon (BW)
donc Délta et (BW) sont perpendiculaires
4) intersection de (Délta)' et (E)
x=2
y=3-2t'
z=-1+3t'
(x-2)²+y²+(z+3)²=13
0+(3-2t')²+(2+3t')²=13
13t'²+13=13 donc t'=0
donc (Délta)' coupe (E) en un seul point de coordonnées (2;3;-1)=B
donc (Délta)' est tangente à la sphère en B
5a)
(Délta)' tangente à (E) en B
un raisonnement similaire à 3) montre que (WB) est perpendiculaire à (Délta)'
les deux droites Délta et délta' ne sont pas parallèles car si v(0;-2;3) est vecteur directeur de délta' on a:
u^v=(0;-3;-2) ; produit vectoriel de u et de v
u^v est donc non nul donc u et v ne sont colinaires et donc Délta et Délta' définissent un plan P car Délta et délta' ont un point commun qui est B.
comme (WB) est perpendiculaire à Délta et à Délta' alors (WB) est perpendiculaire à P.
5b) soit M un point du plan (P)
le triangle (WBM) est rectangle en B car (WB) est perpendiculaire à (BM) (car incluse dans (P)).
d'après le théorème de Pythagore on a:
WM²=R²+BM² et R²+BM²>R² car BM²>0 car B différent de M.
donc WM²>R²
donc WM>R
c)Délta tangente à (E) en B et Délta' tangente à (E) en B et Délta et Délta' définissent (P)
donc (P) est tangent à (E) en B.
autre façon pour le prouver:
u^v=(0;-3;-2)
M appartient P ssi AM.(u^v)=0
ssi (x-3)(0)+(y-1)(-3)+(z-2)(-2)=0
ssi 3y+2z-7=0 ; c'est l'équation cartésienne du plan (P)
d(W;(P))=|-6-7|/V(9+4)=13/V13=V13=R
donc (P) est tangent à (E) en B
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voila
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