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plan tangent et systeme de coordonnées
Bonjour tout le monde,
un petit soucis avec un exercice de géométrie différentielle...j'ai des questions inquiétantes...
On considere
1)Montrer que
2)Le couple de fonctions
3)Meme question pour
Alors déjà mpour montrer la sous-variété,j'ai dit que c'est
mais faut prouver que
Et là j'ai betement un probleme pour déterminer la jacobienne...Est-ce
pour le plant tangent j'ai trouvé
pour la question 2 j'y réfléchis.
pour la 2) je sais pas trés bien ce qu'il faut faire ne fait,
on m'a dit d'exprimer en fonction des autres coorodnnées...
je trouve:
Bonjour robby3
La jacobienne est correcte, et le 1 en troisième position assure qu'elle est de rang 1 en tout point, donc on a bien une submersion.
Le plan tangent au point (0,0,0) est le noyau de la jacobienne au point O donc c'est bien z=0.
L'application (x,y)
(x,y,-x3-xy) est un homéomorphisme d'un voisinage de (0,0) sur un voisinage de O dans S, donc (x,y) est un système de coordonnées locales.
En revanche, tu ne peux pas exprimer de manière unique x en fonction de y et z au voisinage de 0 donc cette fois, y et z ne forment pas un système de coordonnées locales.
Bonjour Camélia
:D
e 1 en troisième position assure qu'elle est de rang 1 en tout point
>pourquoi le 1 nous assure cela?
Le plan tangent au point (0,0,0) est le noyau de la jacobienne au point O donc c'est bien z=0.
>ah D'accord!
Là c'est bien clair au moins!
En revanche, tu ne peux pas exprimer de manière unique x en fonction de y et z au voisinage de 0 donc cette fois, y et z ne forment pas un système de coordonnées locales.
>OK!
Peux tu expliciter sur l'homéomorphisme s'il te plait
PS:au passage je te remercie pour ton aide en algebre durant mes révisions...ça a porté grandement ses fruits...,je pense que quandj'aurais tout les résultats définitifs du semestre j'ouvrirais un topic de remerciements.
Reprenons. Une matrice ligne est de rang 1 si elle a un élément non nul. Le fameux 1 n'étant pas nul, il garantit le rang quelque soit les valeurs des autres coordonnées.
L'homéomorphisme est tout bêtement celui que j'ai écrit (de R2 dans S) avec pour réciproque la projection (x,y,z)(x,y).
L'idée est que au dessus du plan xOy on trouve un et un seul point de S près de 0
Bravo pour ta réussite, tu as bien travaillé, tu es récompensé et nous aussi qui sommes ravis de nous sentir utiles!
mais est-ce qu'on utilise tout le temps cette méthode?
on trouve un homéo définis sur deux ouverts...
parce que si on le voit pas l'homéo...?
merci
Si c'est défini à partir d'une submersion, on sait à cause du théorème des fonctions implicites que la variable par rapport à laquelle la dérivée partielle est non nulle s'exprime en fonction des autres. La jacobienne en 0 est ici (0,0,1) donc c'est garanti que z s'exprime en fonction de x et y et il est probable que x et y en fonction des autres posent problème.
Ceci étant dit, en général on ne sait pas expliciter un système de coordonnées locales; les théorèmes assurent son existence et c'est tout. C'est même à ça que servent les théorèmes d'existence!
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