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Plans perpendiculaires
Bonjour à tous !
Voici la définition que j'utilise pour deux plans perpendiculaires :
Deux plans sont perpendiculaires si l'un contient une droite orthogonale à l'autre.
Je souhaite montrer la propriété suivante :
Si les vecteurs normaux n et n' sont orthogonaux, alors les plans P et P' sont perpendiculaires.
Je suis partie comme ça :
Je prends une droite incluse dans P, il faut que je montre qu'elle est orthogonale à P'.
Elle est incluse dans P, donc son vecteur directeur est orthogonal à n.
Or n est orthogonal à n'.
Et ... je sèche complètement !
Pouvez-vous m'aider à démontrer cette propriété svp ?
Ta démo est bizarre, Ce n'est pas parce que une droite de P est perpendiculaire à une droite de P' que les plan sont perpendiculaires...
Ensuite tu semble prétendre que si deux plan sont perpendiculaire alors toutes les droite dans P sont perpendiculaire aux droites de P', ce qui est également une absurdité...
Je te conseil fortement de revenir à la définition de l'orthogonalité de deux plan...
@urgo : Deux plans dans l'espace ne peuvent pas être orthogonaux... (perpendiculaires, oui).
@elomath : si n est un vecteur (non nul) normal à P, alors les directions des droites de P sont exactement les directions orthogonales à n...
Ce n'est pas parce que une droite de P est perpendiculaire à une droite de P' que les plan sont perpendiculaires...
Euh ... je dirai si !
Je prends le plan P = le plan de la table sur laquelle je travaille. Je prends une droite orthogonale à ce plan (prenons une droite qui sort de la table). Alors tout plan qui contient cette droite sortant de la table est bien perpendiculaire au plan de la table non ?
tu semble prétendre que si deux plan sont perpendiculaire alors toutes les droite dans P sont perpendiculaire aux droites de P', ce qui est également une absurdité...
Là ça ne me semble pas absurde, mais plutôt évident !!! Je ne peux pas avoir deux plans perpendiculaires, et une droite de l'un qui n'est pas orthogonale à une droite de l'autre, si ??
! je parle bien de deux plans perpendiculaires (car s'ils ne sont pas parallèles, ils sont nécessairement sécants) mais de droites orthogonales (pas forcément sécantes) !
@GaBuZomeu : D'accord, donc la démonstration est en quelque sorte immédiate ?
Ce que dit Urgo me met quand même dans le doute ... Je fais complètement fausse route, ou ma définition et ma propriété sont bel et bien exactes ?
merci de votre aide !
1) Pour le premier point !! Supposons que P et P' ne sont pas perpendiculaires (mais sécants)...
Prend par exemple la droite D dans l'intersection et prend l'autre droite D' dans P perpendiculaire... les deux droites peuvent très bien être perpendiculaire (car elles sont coplanaires) et pourtant D est dans P et D' dans P'
2) Non pas du tout, les plans peuvent êtres sécant, mais tu peux considérer des droites gauches (une dans P et l'autre dans P') ou encore parallèles... il ni a pas de point d'intersection... ou encore si tu prends comme pour le point 1)... une droite D dans l'intersection et l'autre (D') dans le plan P' tel que D et D' soit sécantes... et bien ces deux droites ne sont pas forcément perpendiculaire... Donc ce n'est pas absurde du tout 
Je viens de retravailler tout cela et voici ma conclusion. Dsl c'est un long msg mais c pour décortiquer et être sûre que j'ai bien compris. Je récris d'abord les définitions et propriétés que j'utilise :
* P orthogonal à P' = P contient une droite D telle que D orthogonale à P'.
* Or D orthognale à P' = D orthogonale à toutes les droites du plan P'.
* ou encore = D orthogonale à deux droites sécantes de P'.
Je reprends maintenant les points que nous avons évoqués:
*
Ce n'est pas parce que une droite de P est perpendiculaire à une droite de P' que les plan sont perpendiculaires...
Autrement dit, la propriété : "Si une droite de P est perpendiculaire à une droite de P', alors les plans P et P' sont perpendiculaires" est FAUSSE. Effectivement ! (voir ton exemple avec D intersection de P et P').
En revanche, la propriété :
"Si une droite de P est perpendiculaire A TOUTES LES DROITES de P', alors les plans P et P' sont perpendiculaires" est VRAIE!
Dans le cas avec D la droite intersection de P et P', nous avons bien D orthogonale à une droite D' de P', mais c'est tout. D n'est pas orthogonale à deux droites sécantes de P', d'où les plans P et P' sont bien non perpendiculaires.
*
tu semble prétendre que si deux plan sont perpendiculaire alors toutes les droite dans P sont perpendiculaire aux droites de P'
Ca aussi c'est FAUX, en effet !
Ce que je veux dire c'est :
"Si deux plans sont perpendiculaires, alors il y a UNE droite de P qui est orthogonale à toutes les droites de P'.
Considérons deux plans P et P' perpendiculaires. Je me suis dit dans un premier temps, mince, effectivement si on prend la droite D intersection, elle n'est pas perpendiculaire à deux droites sécantes du plan P'. Mais la définition est "Si UNE droite de P est orthogonale a P'". Il suffit donc de ne pas prendre D intersection. Mais si P et P' sont perpendiculaires, tu peux bel et bien trouver une droite orthogonale à toutes les droites de P' (en prenant par exemple une droite "verticale" si ton plan P' est "horizontal".
* Je résume donc tout cela en disant que :
" Deux plans P et P' sont perpendiculaires si P contient UNE droite D telle que D est orthogonale à P"
avec D orthogonale à P' = D orthogonale à toutes les droites de P' = D orthogonale à deux droites sécantes de P'.
Redis-moi ce que t'en penses
"Si une droite de P est perpendiculaire A TOUTES LES DROITES de P', alors les plans P et P' sont perpendiculaires" est VRAIE!
comment veux tu qu'une droite d'un plan soit perpendiculaire à toutes les droites d'un autre plan... c'est complètement absurde... et ce que je comprend pas c'est que 2 lignes après tu me dis le contraire...
L'ennui est que pour moi ce que tu dois montrer est la définition même de deux plan orthogonaux... donc c'est un peu bizarre...
comment défini tu dans ton cours l'angle entre deux plans ??
Il y a une confusion constante dans cette discussion entre perpendicularité et orthogonalité. Il faut faire attention !
Deux sous-espaces d'un espace vectoriel euclidien sont orthogonaux quand tout vecteur de l'un est orthogonal à tout vecteur de l'autre.
Deux sous-espaces d'un espace affine euclidien sont orthogonaux quand leurs directions sont orthogonales.
Deux plans dans l'espace de dimension 3 ne peuvent pas être orthogonaux pour une bête raison de dimensions. La perpendicularité entre plans (selon la définition donnée au début du fil) est différente de l'orthogonalité.
Une droite D et un plan P peuvent être orthogonaux. Ceci arrive si et seulement si D est orthogonale à toute droite de P.
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