Déjà comme 1 est une valeur régulière alors V admet un paramétrage local de classe en tout point régulier de V, ie en tout point de M_1

Mais pour les trouver

Re-re...

D'abord il vaut mieux se rappeler les coordonnées cylindriques et sphériques le jour J! D'autre part DD te donne le plongement en coordonnées cylindriques: x=rcos(t) y=rsin(t) z=1/r², qui donne la partie z>0, puis z=-1/r qui donne le symétrique, les deux définis sur RR₊^*. C'est bien un plongement car la jacobienne

est clairement de rang 2 en chaque point.

Salut Camélia,

Je réfléchis à ce que tu écris ^^

Ok c'est bon merci ^^

Une autre question

Je sais que : a valeur régulière implique que M_a sous-variété différentiable ...

La réciproque est-elle vraie ?

Exemple : si je considère , sachant que les valeurs régulières sont les valeurs autre que 0, est-ce que je peux en déduire que est une sous-variété diff ?

Merci

Je comprends mal ta question, mais je me suis toujours mélangée entre point régulier et valeur régulière.

Donc si F est de rang maximal au point 0, F^-1(0) est bien une sous-variété!

Bah en fait on me demande de montrer que c'en est justement pas une ...

Je peux te rappeler les définitions si tu veux (ça me fait réviser en plus)

Citation :
Soit de classe

On dit que est un point régulier de f si f est une -subermsion local en x, donc si d_xf est surjective.

On dit que est valeur régulière de f si est non vide et si tout point de M_a est un point régulier de f.

OK!

En revanche pour montrer qu'un truc n'est pas une sous-variété il ne suffit pas de dire que le théorème ne marche pas! Si tu prends V={(x,y)|x²=0} c'est évidemment une sous-variété, mais le théorème foire en (0,0).

ok

Mais je n'ai pas vu en cours de caractérisations pour montrer qu'un ensemble n'est pas une sous-variété

Ca dépend! il y a des arguments à base de connexité pour les points multiples, ou des trucs plus compliqués en cas d'"angles". L'absence d'espace tangent peut aussi intervenir... C'est quoi ton truc?

Une question : pourquoi prends-tu V={(x,y)|x²=0} ?

Le cas V={(x,y)|x=0} marche aussi non ? Puisque localement difféomorphe à R

En fait pour le cône, j'avais vu un truc là-dessus ... R^2 privé de 0 est connexe tandis que le cône privé de l'origine ne l'est pas

Avec la même équation! je viens de piger.

On a



c'est la réunion du plan xOy avec l'axe Oz. Pour tout r > 0, soit B(O,r) la boule ouverte de centre O=(0,0,0) et de rayon r. B(O,r)W\{O} a deux composantes connexes. Si W était une ss-variété de dimension 2, ce truc serait homéomorphe à un disque ouvert de R² privé d'un point et ceci est connexe. Donc W n'est pas une ss-variété de dimension 2. Ce n'est pas non-plus une ss-variété de dimension 1, puisqu'elle contient un plan.

ok, même histoire que pour le cône
merci

Au fait Camélia, tu t'y connais en maple ?

Pas vraiment... (c'est pourquoi je compte sur toi pour la surface qui est en "Détente"!)

PS : comment t'es venue l'idée d'utiliser une boule ? Ne peut-on pas simplement dire que W/{0} a deux composantes connexes ?

Si, tu peux; vieux réflexe: "supposons qu'il y ait un ouvert tel que bla-bla..."

Merci pour ton aide ^^