Je ne crois pas que « on peut  remplacer un trapèze coupé en deux triangles par le trapèze . »
Il va y avoir des cordes dans les deux triangles qui vont être ignorées.
Et si on remplace le "trapèze" par les deux triangles il va aussi y avoir des cordes ignorées.

Tu as raison et l'idée du découpage n'est certainement pas la bonne
J'ai d'autres idées en tête mais j'attendrais que ce soit un peu plus clair avant d'en parler
Imod

J'ai quand même l'impression que ton idée de découpage est une bonne piste.
Il manque un petit quelque chose que je n'arrive pas à saisir.

Bonjour,
Je suis resté à l'écart mais cet exercice me fait penser aux analyses
financières.
Si le graphe était généré par une fonction on pourrait dire que chaque corde est issue des ordonnées des minima des a- et des minima des a+ (a= pente des segments).
Si ça peut aider..

Comme nous séchons tous un peu sur l'exercice , je l'ai proposé ailleurs
Il est vraiment pénible ce petit problème mais je n'ai pas envie de le lâcher
Imod

Comme le sujet dort ici depuis longtemps et ailleurs depuis quelques jours , je vous signale que j'ai envoyé un nouveau message qui pourrait inspirer certains
Imod

Je tente une esquisse de démonstration.

On suppose qu'il y a une corde de longueur n non nulle.

Lemme du N.
Dans une figure de ce type en posant il y a cordes si n'est pas entier et si est entier.
Il me semble que c'est déjà démontré.

Ensuite.

Premièrement :
il existe deux réels et , , tels que  
—soit la courbe est croissante sur ]-;a][b;+[
—soit elle est décroissante sur ces intervalles.
Sinon il y a une infinité de cordes.
Ces deux cas étant interchangeables par symétrie je ne considère que le premier.

Deuxièmement :
la plus grande corde a une extrémité au point d'abscisse ou au point d'abscisse .
En fait ce n'est pas obligatoire mais il me semble clair que l'on peut toujours se ramener à ce cas sans augmenter le nombre de cordes.

Troisièmement :
on peut éliminer les détails.
Si un N a ses deux câbles plus  petit que 1 on peut le supprimer.
Par exemple

Dans ce cas le nombre de cordes ne peut pas augmenter mais il peut diminuer.

Enfin :
si la plus grande corde ne coupe pas la courbe on a un N et 2n-1 cordes, si elle coupe la courbe c'est au plus en un point  et on a la configuration de Sylvieg qui donne aussi 2n-1 cordes.

Il manque plein de détails mais je crois que c'est la base d'une démonstration.

Bonsoir ,Verdurin
Ne le prends surtout pas mal , on commence à se connaitre
Ta démonstration comme celle de YvesM sur l'autre site vire à la multiplication de cas . Je sais qu'il y a des exceptions mais en général un résultat simple a une solution simple . Il y a peut-être une idée à tirer des différents translatés du graphe .
Imod
PS : j'étais persuadé que tu avais lâché l'affaire , il est addictif ce problème

Bonsoir Imod.
Mon objectif, points 2 et 3, est d'éliminer les cas particuliers de façon générique.
Je me rends bien compte qu'il y a beaucoup de détails qui manquent mais je crois avoir donné un schéma de démonstration valide.
Je ne prends pas mal tes critiques, d'autant moins quand elles sont justifiées.
Je crois que tu es très optimiste quand tu dis « en général un résultat simple a une solution simple ».

À bientôt.

@Verdurin
J'ai relu en détail ton esquisse de démonstration . Elle a le mérite de ne pas nous entrainer dans des calculs sans fin , seul le lemme mérite un peu d'attention . La réduction de la situation générale à une entrée et une sortie aux extrémités d'une diagonale d'un  rectangle est  admise depuis longtemps . Après réduire la situation à une ou deux configurations simples , ça me tente vraiment mais il manque quelques justifications . Je crois comme toi qu'il y a là une piste à suivre , je vais aussi suivre la mienne qui m'attire de plus en plus .
Merci pour ton intérêt au problème
Imod      

J'ai à nouveau repris le problème et j'ai progressé un peu avec l'idée des translations à laquelle je crois beaucoup mais j'attends que ce soit plus clair avant d'en parler . J'ai aussi repris la version avec les triangles et trapèzes et j'ai eu quelques doutes à propos des choses admises. Etudier la fonction dans un rectangle semble reconnu par tout le monde : pas d'objection . Par contre j'ai pris du recul à propos de deux points .

1°) La fonction n'est pas nécessairement monotone en dehors du rectangle et peut même faire quelques intrusions à l'intérieur de la bande horizontale du rectangle mais comme tout se joue dans le rectangle ce n'est pas très important .


2°) La dimension horizontale du rectangle d'étude est définie par la bande verticale minimale contenant toutes les cordes . La dimension verticale est donnée par les extremums de la fonction sur cet intervalle . Pour moi , Il n'y a aucune raison pour que la fonction passe par les extrémités d'une diagonale du rectangle .

Ces deux points ne sont pas rédhibitoires mais questionnent tout de même car la multiplication des cas particuliers n'est jamais bon signe .
Imod    

Soit g(x) = f(x+1) - f(x).
Il me semble que la fonction g ne change pas de signe en dehors du rectangle.

En effet et c'est pour ça que tout se passe dans le rectangle , il reste la deuxième objection
Imod

Une figure où la plus grande corde est imposée et dans laquelle l'entrée et la sortie ne passent pas par les sommets du rectangle .


On peut certainement réduire cette figure à une situation où ce n'est pas le cas mais ce n'est qu'un exemple .
  
Le problème est difficile à appréhender car quelque part la variable est la fonction . L'avantage de l'approche avec les translations c'est que quelque part on est réduit à étudier les rencontres de mobiles parcourant le même chemin de la même façon avec des horaires régulièrement décalés . Globalement on remplace la forme de la courbe par une simple trajectoire sur un segment .
Imod

Salut Imod.
En remplaçant les points E et S par des sommets du rectangle on ne peut pas augmenter le nombre de cordes, sauf s'il y en a avec au moins une extrémité à l'extérieur du rectangle, ce qui me semble écarté par hypothèse.

J'ai fini par trouver une démonstration avec les translations en laissant de côté un grand nombre des remarques précédentes . L'idée est de considérer les intersections des différents translatés de la fonction sur des intervalles de longueur 1 . Je ne peux pas rédiger maintenant mais j'essaierai de proposer quelque chose avant la fin du week-end .
Imod

Il y avait un énorme grain de sable dans ma "démonstration" ,  je l'ai vu en commençant à rédiger . Tant pis
Imod

On a bien progressé sur le site ami . La démonstration est complète mais le formalisme un peu lourd ( j'ai eu du mal à me glisser dedans ) . Je pense qu'on doit pouvoir grandement simplifier la démonstration avec un meilleur indiçage ou d'autres choix d'égalités . Après il est toujours facile de refaire la bataille quand elle est finie

J'y réfléchis de mon côté mais je crois de plus en plus à une solution qui tient en quelques lignes .

Imod

Merci Imod pour ce suivi.
Je tenterai de comprendre cette démonstration quand j'aurai un peu plus de temps.

En effet il faut prendre son temps . Personnellement j'ai refait la démonstration en réindiçant et avec n=9 pour suivre le cheminement . Il faut tout de même s'accrocher et l'égalité notée (3) ne devient claire que si on détaille chaque terme . Bon courage
Imod  

Vu le peu de réactions je suppose que tout le monde comme moi peine à assimiler le trop plein de formalisme de la solution proposée par Pea ( que YvesM a validé en 10 minutes ) . Après une journée de réflexion et un peu de recul je ne suis plus vraiment convaincu par cette solution dépendant d'un  trop plein de paramètres . Il y a tout de même une belle idée qui mérite d'être étudiée : les 4 cordes de longueur k et n-k .
Imod  

Bonjour,
J'ai commencé à éplucher et calé assez vite.
J'ai demandé une explication.

C'est un point que j'avait réglé assez vite , cela vient du fait que pour assez grand ne s'annule pas et s'exprime facilement comme une somme de .
Personnellement j'ai pratiquement levé tous les blocages mais il me reste encore un peu de travail .
Imod

D'accord.
L'intervention de GBZM donne du crédit à la démonstration.

J'ai fini de réécrire la démonstration de Pea , cette nouvelle rédaction  ne semblera sans doute pas plus claire que l'originale mais peut-être  un mix des deux ...

Imod

PS : Je sais que le site n'apprécie pas trop les PDF mais j'ai rédigé le texte avec un LaTeX qui n'est pas celui du site . J'ai essayé de retaper la rédaction directement ici mais on perd clairement en lisibilité .

PPS : Je ne sais pas si le sujet a évolué sur le site ami , je n'ai plus aucun contact avec lui depuis deux jours .


PDF - 95 Ko

Merci !
Le site ami semble en panne depuis un moment...

J'ai bien du mal avec l'égalité des deux sigmas.
J'ai essayé sans succès de la démontrer sans remplacer k par 3.
Je reprendrai demain.

En fait il y a deux choses à observer :

1°) Les simplifications des f(i) comptées positivement et négativement .
2°) Le fait que f(10)-f(1)=0 .

Imod

Oui, je l'avais bien vu avec k = 3.
Je viens de le vérifier avec k = 6.
La difficulté pour l'écrire dans le cas général me semble de voir les termes qui s'annulent dans un des sigmas quand on remplace les g_k(i) par f(k+i) - f(i).
J'approfondirai demain.

En fait c'est presque plus simple dans le cas général que dans un cas particulier . On a quatre sommes qui s'emboîtent parfaitement :



Imod

OK
Un détail : c'est 2 k 9.

C'est vrai et du coup on ne peut pas utiliser cette égalité quand k=1 . On doit pouvoir s'en passer en remplaçant l'intervalle [1;4] par [6;9] .

Imod

En fait, on peut considérer que l'égalité est encore vraie car le premier sigma est nul.

Oui , mais l'autre n'existe pas , est-il nul ?
Imod

Extrait de Wikipédia :
"En mathématiques, la somme vide est le résultat d'une addition d'aucun nombre. Sa valeur numérique est par convention égale à zéro."

Si je l'ai su un jour , je l'avais complètement oublié

D'un autre côté ça marche aussi très bien en choisissant les valeurs supérieures de k . Après c'est vraiment amusant de traquer les valeurs de qui annulent . Je trouve cette solution vraiment jolie et je peux le dire sans retenue vu que ce n'est pas moi qui l'ai dénichée .

Imod

Le site ami refonctionne
J'avance à petit pas dans le PDF.
La succession des changements de f en -f ou autres symétries me perturbe un peu.

A part le choix des qui deviennent positifs ou négatifs à l'infini , il n'y a pas à changer en . En fait il n'y a que deux ou trois idées simples à faire faire fonctionner dans quatre cas .

1°) L'existence d'une corde se traduit par .

2°) Pour , ou s'annulent ( à elles deux ) au moins quatre fois .

3°) Comme les sont continues , elles s'annulent toujours avant de changer de signe .

Essaie de voir chacune des quatre possibilités en regardant uniquement ces  points .

Imod

Bon, ça y est, je crois avoir tout compris
Sauf le "par symétrie on peut supposer qu'il s'agit de g_k" ; mais Pea traite l'autre cas avec g_n-k.
Merci pour ton suivi et tes conseils.

Il y a bien symétrie même si les deux sommes n'ont pas le même nombre de termes mais rien n'empêche de vérifier les deux cas .

On peut dire que le problème est clos  

Imod

Bonjour,
J'ai écrit une démonstration dans le cas général.
Une solution plus simple aurait pu ainsi m'apparaître. Non
Sait-on jamais, un lecteur aura peut-être plus de clairvoyance ?
La démonstration est un mix de celle de Pea dans le site ami, et de celle d'Imod dans le fichier PDF, avec une touche perso pour l'égalité avec les sigmas.
Vu le nombre d'étapes et mon choix de tout détailler, il va y avoir plusieurs messages.

f étant une fonction de vers , on appelle corde de f, tout segment joignant deux points distincts de son graphe, parallèle à l'axe des abscisses.
La longueur du segment est alors appelée longueur de la corde.

On suppose que la fonction f est continue sur et admet une corde de longueur n avec n entier supérieur ou égal à 1.
On va démontrer la propriété suivante notée (Pn) :
Pour la fonction f, le nombre de cordes de longueur entière est supérieur ou égal à 2n-1.

1)a) Si la fonction f admet une infinité de cordes de longueur entière alors (Pn) est vrai.
On suppose dans la suite que la fonction f admet un nombre fini de cordes de longueur entière.

1)b) Il existe un réel a tel que f(a+n) = f(a) car f admet une corde de longueur n.
En posant h(x) = f(x+a-1), on a h(1) = h(1+n) ; de plus les fonctions f et h ont le même nombre de cordes de longueur entière.
On peut donc remplacer f par h et supposer dans la suite que f(1+n) = f(1).

2) On pose g_k(x) = f(x+k) - f(x) pour k entier supérieur ou égal à 1.
Les zéros de g_k correspondent aux cordes de longueur k de f.
On va démontrer deux propriétés :

(Q4) Pour 1 k < n/2, le nombre de zéros de g_k ajouté au nombre de zéros de g_n-k est supérieur ou égal à 4.
(Q2) Si n = 2p alors g_p s'annule au moins deux fois.

L'intérêt de ces deux propriétés, est qu'on peut en déduire la propriété (Pn) pour tout n de *.
Voici comment :

a) Cas où n est impair avec n = 2p+1.
Pour 1 k p, d'après (Q4), on a au moins 4 cordes de longueur k ou n-k ; donc au moins 4p cordes en tout.
Avec la corde de longueur n on a au moins 4p+1 cordes. Et 4p+1 = 2n-1. (Pn) est vrai.

b) Cas où n est pair avec n = 2p.
Pour 1 k p-1, d'après (Q4), on a au moins 4 cordes de longueur k ou n-k ; donc au moins 4(p-1) cordes en tout.
D'après (Q2), on peut y ajouter au moins deux cordes de longueur p.
Avec la corde de longueur n, on a au moins 4(p-1)+2+1 cordes. Et 4(p-1)+2+1 = 2n-1. (Pn) est vrai.
Reste à démontrer (Q2) et (Q4).

3)a) On s'intéresse d'abord à ce qui se passe à l'infini pour les fonctions g_k.
Il n'y a qu'un nombre fini de cordes de longueur 1 ; donc la fonction g₁ ne s'annule qu'un nombre fini de fois.
Elle a donc un signe constant en + et un signe constant en -.
Les g_k ont alors le même signe que g₁ au voisinage de + et le même signe que g₁ au voisinage de - car
g_k(x) = g₁(x) + g₁(x+1) + … + g₁(x+k-1).
Si ces deux signes n'étaient pas identiques, tous les g_k changeraient de signe et s'annuleraient au moins une fois.
Il y aurait alors au moins une corde de longueur k pour tous les k de *.
C'est contradictoire avec le nombre fini de cordes de longueur entière.
Le signe de g₁ au voisinage de + est donc le même que son signe en -.
Conclusion du 3)a) : En changeant au besoin f en -f, les g_k sont tous positifs au voisinage de + et de -.

3)b) Démonstration de (Q2).
Si n = 2p alors g_p(1) + g_p(p+1) = f(p+1) - f(1) + f(2p+1) - f(p+1) = f(n+1) - f(1) = 0.
Deux cas :
g_p(1) = g_p(p+1) = 0 . g_p s'annule en 1 et p+1.
g_p(1) < 0 ou g_p(p+1) < 0. Or g_p est positif en - et en + ; donc g_p s'annule au moins deux fois.

4) Pour la démonstration de (Q4), des égalités vont être utilisées :
Pour 1 k n - 1
g_k(1) + g_n-k(k+1) = 0 (E1)
g_n-k(1) + g_k(n+1-k) = 0 (E2)
(E3)

a) Démonstration de (E1) et (E2).
g_k(1) + g_n-k(k+1) = f(k+1) - f(1) + f(n+1) - f(k+1) = f(n+1) - f(1) = 0
En remplaçant k par n-k, on obtient (E2).

b) Démonstration de (E3).



Remarque : en remplaçant k par n-k, on obtient … (E3).

5) Démonstration de (Q4).
C'est là que ça se complique un peu.
Il s'agit de montrer que pour chaque entier k vérifiant 1 k < n/2 les fonctions g_k et g_n-k ont au moins 4 zéros à elles deux.
Rappel : tous les g_k et g_n-k sont positifs au voisinage de + et -.
Plusieurs cas :
a) g_k et g_n-k prennent toutes les deux des valeurs négatives.
b) g_k 0 sur .
c) g_n-k 0 sur .
Voir leur étude dans le dernier message.

a) g_k et g_n-k prennent toutes les deux des valeurs négatives.
Elles s'annulent donc chacune au moins deux fois. Au moins 4 fois à elles deux.

b) g_k 0 sur .
) g_k(1) = g_k(n+1-k) = 0.
D'après (E1), g_n-k(k+1) = 0 ; et d'après (E2), g_n-k(1) = 0.
g_k s'annule au moins deux fois. Idem pour g_n-k. Au moins 4 fois à elles deux.

) g_k(1) > 0 et g_k(n+1-k) > 0.
D'après (E1), g_n-k(k+1) < 0 ; et d'après (E2), g_n-k(1) < 0.
Dans l'égalité (E3), le premier sigma est positif ; le second sigma a donc au moins un terme g_n-k(i) positif, avec 1 < i k.
D'où g_n-k positif en -, puis négatif en 1, puis positif en i, puis négatif en k+1, puis positif en +.
Ce qui donne au moins 4 zéros pour g_n-k.

) g_k(1) > 0 et g_k(n+1-k) = 0.
On a au moins un zéro pour g_k.
D'après (E2) et (E1), on a g_n-k(1) = 0 et g_n-k(k+1) < 0.
Dans l'égalité (E3), le premier sigma est strictement positif ; le second sigma a donc au moins un terme g_n-k(i) positif, avec 2 i k.
D'où g_n-k nul en 1, puis positif en i, puis négatif en k+1, et enfin positif en +.
Ce qui donne au moins 3 zéros pour g_n-k.

) g_k(1) = 0 et g_k(n+1-k) > 0.
On a au moins un zéro pour g_k.
D'après (E1) et (E2), on a g_n-k(k+1) = 0 et g_n-k(1) < 0.
Dans l'égalité (E3), le premier sigma est positif ou nul ; dans le second sigma, le terme g_n-k(1) est négatif ; il y a donc au moins un terme g_n-k(i) positif, avec 2 i k.
D'où g_n-k positif en -, puis négatif en 1, puis positif en i, puis nul en k+1.
Ce qui donne au moins 3 zéros pour g_n-k.

c) g_n-k 0 sur .
On raisonne de la même manière en échangeant k et n-k.

Fin !

Bel effort

Il y a plein d'endroits où je serais allé bien plus vite , notamment pour les symétries ou pour la fonction h car il est clair que le nombre de cordes est invariant par translation mais chacun son truc . Ce qui est sûr c'est que pour comprendre les idées utilisées ici il faut mettre un minimum les mains dans le cambouis . Personnellement j'étais resté coincé un bon moment sur (E3) dans la solution initiale de Pea car je ne voyais pas l'idée sous-jacente , après tout était devenu limpide .

Un petit problème qui nous aura occupé un bon moment

Imod