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Point d'inflexion et tangente
Bonjour,
j'ai un exercice à faire et je suis coincée à ses 2 dernières questions.
Voici l'énoncé: dans une usine de voiture, une machine fabriquant les roues est utilisée 10 heures par jour. La fonction f définie sur 0;10 par f(t)=-t^3+12t^2+72t est la production totale de roues après t heures de fonctionnement. On dit que f'(t) représente la production marginale.
On me demande par la suite de calculer f'(t) et la dérivée de f'(y), notée g(t)et d'étudier leur signe ce que j'ai fait: f'(t)=-3t^2+24t+72 et g(t)=-6t+24.
De plus je montre que f'(t) admet un maximum en t0= 4.
Seulement après on me demande d'indiquer les 2 phases et le point d'inflexion I et selon sa définition, je trouve que les deux phases sont les intervalles 0;4 et 4;10 et que le point d'inflexion est 4.
Et là je suis bloquée puisque je dois:
1) Déterminer l'équation réduite de la tangente T à la courbe C au pt d'inflexion I sous la forme y=h(t). Puis:
2) Etudier le signe de la différence f(t)-h(t) sur 0;10 et vérifier que f(t)-h(t)= -(t-4)^3.
Je sais qu'il y a un lien entre g(t) et ces questions seulement h(t) ne peut etre égal à g(t) puisque sinon d'après mes calculs f(t)-h(t) n'est pas égal à ce que dit l'énoncé et en faisant une équation, j'ai trouvé que l'équation pourrait être y=56t-64 seulement je ne sais pas si c'est vrai et comment le démontrer.
Voilà j'espère avoir été claire.
Merci d'avance 
Bonjour Lili,
Pourquoi voudrais-tu que h(t)=g(t) ?
La tangente dont tu cherches l'équation a évidemment pour pente f'(4) et passe par le point (4;f(4)) ; cela te donne immédiatement son équation .
Merci de m'avoir si rapidement répondu,
j'ai donc trouvé l'équation et h(t) est donc égal à 24t+320.
Pour la question 2), j'ai calculé f(t)-h(t): t^3+12t^2+48t-320.
Pour étudier son signe, je dois donc calculer sa dérivée et savoir si elle est croissante ou non, c'est bien cela ?
Pourtant j'ai appliqué la formule f'(a)(x-a)+f(a) ce qui donne f'(4)(t-4)+f(4), avec ma calculatrice j'ai calculé f'(4) ce qui fait 23.99 donc 24 et f(4)=416 donc ça fait bien : 24t-96+416 soit 24t+320 non ?
Merci. Du coup pour la question suivante je calcule f(t)-h(t)=-t^3+12t^2-48t-64 et je la dérive et je trouve: -3t^2+24t-48. Et après avoir calculer le discriminant qui est nul, j'ai donc son tableau de variation. Et donc sur l'intervalle 0;4, la fonction est croissante et sur 4;10 elle est décroissante seulement elle est tout le temps négative ( le discriminant étant nul et a étant négatif) donc logiquement f(t)-h(t) est positif sur 0;4 et négatif sur 4;10 ?
quand je développe -(t-4)^3 je trouve -t^3+12t^2-48t+64 donc c'est bon je pense.
Après pour finir, je dois justifier la phrase: " au point d'inflexion, la courbe traverse sa tangente."et je ne sais pas trop comment l'expliquer... je sais bien que f(t)possède un point d'inflexion qui est 4 et que f(t) coupe h(t) en ce point mais sans le déterminer graphiquement je dois juste dire ça ?
C'est le résultat du changement de signe de f-h : Cf au-dessus de Ch avant x=4, Cf en dessous de Ch après
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