Inscription / Connexion Nouveau Sujet
Point de Frégier d'une ellipse
Bonjour,
Je cherche une démonstration analytique permettant de déterminer le point F intersection de toutes les hypothénuses des triangles rectangles en M inscrits dans l'ellispe.
De mémoire, si M(acos(t);bsin(t)) alors F(k acos(t); -k bsin(t)) avec k=(a^2-b^2)/(a^2+b^2).
Merci et bonne Journée.
Bonjour,
Je confirme la formule, et elle se retrouve sans trop de difficulté en considérant deux triangles rectangles inscrits particuliers : celui qui a les côtés de l'angle droit parallèles aux axes, et celui (dégénéré) qui a un côté de l'angle droit tangent à l'ellipse.
Cherches-tu une démonstration analytique de ce fait ?
Sinon, c'est un cas particulier de l'étude des homographies involutives sur une conique et de leur point de Frégier (ici, cette homographie involutive envoie le point P de la conique sur le deuxième point d'intersection de la droite perpendiculaire à (MP) passant par M avec la conique).
Une manière parmi d'autres (aux erreurs de recopies près) :
Soit l'ellipse d'équation x²/a² + y²/b² = 1 et M(a.cos(alpha) ; b.sin(alpha))
On prend 2 autres points de l'ellipse : A(a.cos(X1) ; b.sin(X1)) et B(a.cos(X2) ; b.sin(X2))
On a :
vect(AM) = (a.(cos(alpha)-cos(X1)) ; b.(sin(alpha) - sin(X1))
vect(BM) = (a.(cos(alpha)-cos(X2)) ; b.(sin(alpha) - sin(X2))
(AM) doit être perpendiculaire à (BB) et donc : vect(AM).vect(BM) = 0 et donc :
...
Après quelques transformations, on peut aboutir à la condition : tan((X1+alpha)/2)* tan((X2 + alpha)/2) = -b²/a²
tan((X2 + alpha)/2) = -b²/(a².tan((X1+alpha)/2)) (1)
On va essayer de trouver l'équation de (AB) : y = mx + k :
On peut calculer la pente de (AB) : m = -b/a * 1/tan((X1+X2)/2) (2)
En éliminant X2 entre (1) et (2), on obtient (après plusieurs lignes de calcul) :
m = b/a * [(a²-b²).sin(alpha+X1) - (a²+b²).sin(alpha-X1)]/[(a²-b²).cos(alpha+X1) - (a²+b²).cos(alpha-X1) + 2a²]
En exprimant que la droite (AB) passe par A, on peut alors trouver k = b.sin(X1) - a.m.cos(X1)
(AB) : y = mx + k avec m et k donnés ci-dessus.
On peut alors vérifier que toutes les droites (AB) passent par un même point P(a(a²-b²)/(a²+b²) * cos(alpha) ; - b(a²-b²)/(a²+b²) . sin(alpha))
*********
J'ai évidemment confié à mon singe les développements notés ci dessus par "Après quelques transformations, on peut aboutir ..." et par "En éliminant X2 entre (1) et (2), on obtient"
Il y a probablement plus rapide.
Annuler
connectez vous
géométrie en post-bac