Bonjour,
Je confirme la formule, et elle se retrouve sans trop de difficulté en considérant deux triangles rectangles inscrits particuliers : celui qui a les côtés de l'angle droit parallèles aux axes, et celui (dégénéré) qui a un côté de l'angle droit tangent à l'ellipse.

Il faut tout de même montrer que le point est sur toutes les cordes...

Cherches-tu une démonstration analytique de ce fait ?
Sinon, c'est un cas particulier de l'étude des homographies involutives sur une conique et de leur point de Frégier (ici, cette homographie involutive envoie le point P de la conique sur le deuxième point d'intersection de la droite perpendiculaire à (MP) passant par M avec la conique).

Je cherche une démonstration en utilisant une représentation paramétrique de l'ellipse

Une manière parmi d'autres (aux erreurs de recopies près) :

Soit l'ellipse d'équation x²/a² + y²/b² = 1 et M(a.cos(alpha) ; b.sin(alpha))

On prend 2 autres points de l'ellipse : A(a.cos(X1) ; b.sin(X1)) et B(a.cos(X2) ; b.sin(X2))

On a :
vect(AM) = (a.(cos(alpha)-cos(X1)) ; b.(sin(alpha) - sin(X1))
vect(BM) = (a.(cos(alpha)-cos(X2)) ; b.(sin(alpha) - sin(X2))

(AM) doit être perpendiculaire à (BB) et donc : vect(AM).vect(BM) = 0 et donc :
...
Après quelques transformations, on peut aboutir à la condition : tan((X1+alpha)/2)* tan((X2 + alpha)/2) = -b²/a²

tan((X2 + alpha)/2) = -b²/(a².tan((X1+alpha)/2))  (1)

On va essayer de trouver l'équation de (AB) : y = mx + k :

On peut calculer la pente de (AB) : m = -b/a * 1/tan((X1+X2)/2)  (2)

En éliminant X2 entre (1) et (2), on obtient (après plusieurs lignes de calcul) :

m = b/a * [(a²-b²).sin(alpha+X1) - (a²+b²).sin(alpha-X1)]/[(a²-b²).cos(alpha+X1) - (a²+b²).cos(alpha-X1) + 2a²]  

En exprimant que la droite (AB) passe par A, on peut alors trouver k = b.sin(X1) - a.m.cos(X1)

(AB) : y = mx + k avec m et k donnés ci-dessus.

On peut alors vérifier que toutes les droites (AB) passent par un même point P(a(a²-b²)/(a²+b²) * cos(alpha) ; - b(a²-b²)/(a²+b²) . sin(alpha))
*********

J'ai évidemment confié à mon singe les développements notés ci dessus par "Après quelques transformations, on peut aboutir ..." et par "En éliminant X2 entre (1) et (2), on obtient"


Il y a probablement plus rapide.

Bonjour,

Je reviens sur ce sujet pour le fun et au cas où cela intéresserait quelqu'un.
Ce qui me chiffonnait dans la démarche de candide2, c'est qu'on part du fait qu'on connait les coordonnées du point et qu'on contrôle simplement qu'elles vérifient l'équation obtenue pour la droite.
Je me suis donc demandé s'il n'existait pas une méthode permettant d'obtenir ces coordonnées en partant directement de l'équation de la droite. Mes connaissances en maths étant plus que sommaire, j'ai posé la question à un spécialiste qui m'a suggéré la méthode suivante :
Pour une droite d'équation y=mx+q avec m et/ou q dépendant d'un paramètre p et passant par un point fixe, on peut trouver les coordonnées de ce point en résolvant le système suivant :
y-mx-q=0
d/dp(y-mx-q)=0
Ici, le paramètre est l'angle de A, que j'ai noté béta dans les calculs que j'ai confiés à Maxima, vu la complexité des expressions. A priori, je n'étais pas sûr que cela aboutirait, mais ça a fonctionné, le logiciel m'a bien retourné les bonnes coordonnées il suffit de les arranger un peu. Ci-joint une copie d'écran.
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