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points communs d'une parabole et d'un cercle
Bonjour,
Donc il s'agit d'un cercle d'"équation typique (x-a)² + (y-b)² - R²=0 et une parabole y=x²
première question
il faut former l'équation qui a pour racines les abscisses des ponts communs à la parabole et au cercle:
- ce que j'ai fait j'ai développe l'équation du cercle et j'ai exprimé Y en fonction des autres termes. Donc j(obtient y= (-x²+2ax-a²-b²+R²)/(y-2b)
pour que l'équation ait pour racines les mémés x il faut que les Y soit égaux donc d'ici je trouve l'équation x^2 (y-2b+1)-2ax+a²+b²-R²=0. est-ce que c'est juste, je ne sais pas du tout si ma démarche est correcte pour trouver l'équation qui a pour abscisses les points communs à la parabole et au cercle.
deuxième question:
on donne x^4 + px^2 + qx + r = 0
il faut démontrer qu'on peut déterminer une cercle dont le centre est réel et le rayon réel ou imaginaire tel que cette équation soit l'équation aux abscisses des points communs au cercle et à la parabole y=x².
La j'ai pas d'idées mais je pense que il faudrait égaler cette équation a l'équation type d'un cercle : x-a)² + (y-b)² - R²=0 et inclure le x² de la parabole de façon que : x^4 + px^2 + qx + r=(x-a)² + (y-b)² - R²-x²
Merci d'avance
Basil
Bonjour,
Dans la première question pourquoi ne pas remplacer y par x2 dans l'équation du cercle :
(x - a)2 + (x2 - b)2 - R2 = 0 ?
waaaah effectivement , ca va changer beaucoup la situation, merci pour la réponse très rapide..... je vais voir ce que ca donne....
oui donc pour continuer , en fait si nous remplaçons y par x² nous obtenons une équation x^4 + x²(1-2b) -2ax +q² +b² -R² = 0 Donc d'après ce que je comprends c'est ceci l'équation qui a pour racines les abscisses des points communs à la parabole et au cercle?
Si je continue avec cette logique pour la question 2 en fait on va identifier "p" à "(1-2b)" ; "q" à "(-2a)" et "r" à "a²+b²-R²"
Donc enfin la question est résolue? parce que en fait je comprends pas trop ce qu'on nous demande comment on peut démontrer qu'on peut déterminer une cercle dont le centre est réel et le rayon réel ou imaginaire tel que cette équation soit l'équation aux abscisses des points communs au cercle et à la parabole y=x²?
Si par ce que j'ai fait au dessus j'ai répondu à la question alors le point suivant c'est de trouver les valeurs de r (si p et q sont données) pour lesquels le rayon du cercle est réel. Ainsi r = a² +b² - R² ; "R" étant le rayon du cercle. Donc d'ici R= racine(-r+a²+b²) donc la réponse c'est pour tout r< a² +b² ?
Oui, tu identifies, ça donne :
a = -q/2, b = (1 - p)/2
Ce sont les coordonnées du centre du cercle.
Puis pour le rayon, on a R = 
(q2/4 + (1 - p)2/4 - r)
Suivant les valeurs de p, q et r, cette expression est réelle ou imaginaire.
superbe, merci frenicle, maintenant je vais voir pour la suite de l'exo et si j'arrive pas je reviendrai
meilleures salutations
Basil
oui donc j'y arrive pas
:
on doit donner graphiquement la condition pour laquelle l'équation x^4 + 2x + h = 0 a 2 racines réelles, abscisses des points communs à la parabole et au cercle.
Donc de manière algébrique je suis arrivé a
p=0
q=2
h=r
h=a²+b²-R² ou q²/4+ (1-p)²/4 -R²
d'ou -R²+1+0.25=h
donc R=-h+1.25
et
h< 1.25
donc on a les cordonnés du centre du cercle (1;0.5)
et après je sais pas quoi faire......
de maniéré graphique j'y arrive pas
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