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Points d'intersection de deux droite (barycentre)

Posté par
nadia954
26-12-09 à 22:55

Bonsoir à tous...
Voilà j'ai un DM à faire pour la rentrée et je rencontre quelque difficulté pour l'un des exercices!
L'énoncé est:

Soit ABC un triangle, I milieu de [AB] et J milieu de [CI].

1) Exprimer J comme barycentre des points A,B et C.
2)La droite (AJ) coupe (BC) en K

Exprimer K comme barycentre des points B et C affectés de certains coefficients que vous préciserez.

Donc pour cet exercice je ne vois pas comment exprimer un barycentre sans coefficients pour aucun des points..
je peux déduire que I est isobarycentre de A et B et que J est isobarycentre de C et I donc J est isobarycentre de A,B et C par associativité.
(j'ai un peu du mal à rédiger mais je pense que c'est dans cette voie)

et pour exprimer K j'en ai aucune idée:s

Alors si vous pouviez me guider sa serai super cool de votre part..
Je vous souhaite de bonne vacance et d'excellentes fêtes de fin d'années   

Posté par
veleda
re : Points d'intersection de deux droite (barycentre) 27-12-09 à 08:46

bonjour,
J est au milieu de IC c'est donc le barycentre du système pondéré {I(m) , C(m)} m réel quelconque non nul
I milieu de AB est le barycentre du système pondéré{ A(p), B(p)}p réel quelconque non nul donc par associativité on peut remplacer {A(p),B(p}} parI{2p}
J peut donc être considéré comme le barycentre du système pondéré {A(p),B(p),C(2p)} on peut prendre p=1 puisque le barycentre ne change pas quand on multiplie les poids par un coefficient non nul[/i]
[i]J ne peut pas être l'isobarycentre de A,B,C se serait le centre de gravité du triangle ,il serait donc au 1/3 de CI à partir de I et J est au milieu de CI

2)J est le barycentre du système pondéré{A(1),B(1),C(2)}
tu peux remplacer {B(1),C(2)}par le barycentre G des deux points affecté de la somme des poids c'est à dire 3 ( G est sur BC)
J sera alors le barycentre de {A(1),G(3)}=>G est sur AJ
G est donc à l'intersection de BC et AJ c'est le point K
K est donc le barycentre de {B(1),C(2)}

Posté par
nadia954
re : Points d'intersection de deux droite (barycentre) 27-12-09 à 16:07

Ah ouii je comprend mieux ...Je vous remercie énoremement de votre aide! Je vous souhaites une excellente année 2010 et tous mes meilleurs voeux!!

Posté par
veleda
re : Points d'intersection de deux droite (barycentre) 27-12-09 à 16:10

je t'en prie ,bon courage et bonne année à toi aussi

Posté par
nadia954
re : Points d'intersection de deux droite (barycentre) 27-12-09 à 18:53

Merci encore

Posté par
joquetino
re : Points d'intersection de deux droite (barycentre) 04-11-19 à 08:43

Bonjour,

Je me permet de rebondir sur ce poste, j'ai un exercice semblable que je n'ai pas compris.
Pour le petit 1), pas de soucis.

par contre, ce qui est mis ici n'est pas clair pour moi :
2)J est le barycentre du système pondéré{A(1),B(1),C(2)}
tu peux remplacer {B(1),C(2)}par le barycentre G des deux points affecté de la somme des poids c'est à dire 3 ( G est sur BC)

Quel est la propriété du cours qui permet d'affirmer qu'on peut remplacer {(B,1), (C,2)} par (G,3) ? C'est une priorité  bien particulière des triangles ?

Merci.

Posté par
Priam
re : Points d'intersection de deux droite (barycentre) 04-11-19 à 09:21

Soit trois points A, B et C pondérés ayant le point G pour barycentre.
On peut écrire (vecteurs) :
aGA + bGB + cGc = 0 .
Si les points B et C ont eux-mêmes un point K pour barycentre avec les mêmes poids  b  et  c , on a alors
bKB + cKC = 0
b(KG + GB) + c(KG + GC) = 0
(b + c)KG + bGB + cGC = 0
bGB + cGC = (b + c)GK
et, finalement
aGa + (b + c)GK = 0 .

Posté par
Priam
re : Points d'intersection de deux droite (barycentre) 04-11-19 à 09:22

aGA + . . .

Posté par
joquetino
re : Points d'intersection de deux droite (barycentre) 04-11-19 à 09:27

Ok merci. Donc dans le 2, on suppose que G est le barycentre de (B,1) et (C,2) pour ensuite appliquer l'associativité des barycentres ?

Posté par
Priam
re : Points d'intersection de deux droite (barycentre) 04-11-19 à 10:08

Oui, on peut remplacer  (B,1),(C,2) par  (G,3), car  G  est le barycentre des points B et C pondérés et que  1 + 2 = 3 .



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