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polygone et nombre complexe
J'ai réussi a faire la première partie I de ce problème sans trop de difficulté mais la question 1 de la partie II me pose pas mal de souci ainsi que la suite... Si quelqu'un pouvait m'aider et à me débloquer! Merci d'avance et bon week end
Partie I.
1) Soit n un entier naturel supérieur ou égal à 2 et Zl, Z2 .. , Zn n nombres complexes non nuls.
a) Montrer rapidement que mod(Z1+Z2….+Zn)inférieur ou égal à mod(Z1)+mod(Z2)+….+mod(Zn)
b) Montrer que si cette inégalité est une égalité alors zi/ Zl est un réel strictement positif pour tout i.
2) Soit j le nombre complexe e(2i /3) et p un entier naturel, .montrer que j^p = 1 si et seulement si p est un
multiple de 3.
3) On considère deux entiers naturels p et q qui ne sont pas des multiples de 3, montrer qu'il en est de même
de qp.
Partie II.
Dans tout la suite de ce problème, n désigne un entier naturel non multiple de 3. On désigne par Un l'ensemble des racines nièmes de 1.
Dans un plan muni d'un repère orthonormé direct, on note P l'ensemble des points ayant pour affixes les éléments de Un.
On pose pour tout Z appartenant à C: f(z) = II (z² + az + a²).a apartient à Un
1) Déterminer les nombres complexes z et z' sachant que: mod(z) = mod(z') = 1 et mod(1+z+z') = 3.
2) a) Montrer que l'application a donne a^3 est une bijection de Un \ {1} dans lui même
b) Montrer que f(1) = 3
3) a) Soit B appartient à Un, montrer que l'application a donne a/B est une bijection de Un dans lui même
b) Montrer que f (B) = 3
4) a) Simplifier: (z^n - l)f(z)
b) En déduire un expression plus simple de f(z). (On trouve une somme de trois puissances de z)
5) On note Pl (respectivement P2) l'ensemble obtenu en transformant P par la rotation de centre 0 et d'angle 2π/3 (respectivement -2π/3)
Pour tout point M du cercle C de centre 0 et de rayon l, on pose F(M) = II MΩ.
Avec Ω appartenant à l'intersection de P1 et P2
a) Montrer que Pl et P2 sont disjoints.
b) Montrer que pour tout M appartenant à C, F(M) est inférieur ou égal à 3; on pourra comparer F(M) et |f(z)| si z désigne l'affixe de M.
c) Déterminer les points M appartenant à C pour lesquels F(M) = 3
II 1) z=z'=1 (il suffit d'écrire z=cost+isint, z'=cost'+isint' donc (1+cost+cost')^2+(sint+sint')^2=9 soit cost+cost'+cos(t-t')=3 donc t=t'=0
2) les racines n-ièmes de l'unité sont les puissances de u=e^2i*pi/n
Si a=u^k, a^3=u^3k est bijective puisque n n'est pas multiple de 3
z^2+az+a^2=(z^3-a^3)/(z-a) si a différent de z et =3z^3 si a=z
1+az+a^2=(1-a^3)/(1-a) si a différent de 1 et+3 si a=1
compte tenu de la bijection ci dessus on ve retrouver les mêmes termes au numérateur et au dénominateur donc f(1)=3
Essaie de continuer...
hello, pour la question 1 ca va mais pour la question 2 je ne comprends pas tout.
Tu pourrais détailler un peu plus piepalm plz.
Merci d'avance 
L'application qui à a=u^k fait correspondre a^3=u^3k est une bijection puisque n n'est pas divisible par 3, puisque pout tout couple k et k' d'entiers compris entre 0 et n-1 , on ne peut avoir u^k=u^k' que si 3k=3k' modulo n donc si k=k'.
Si a=z, z²+az+a²=3z² Si a
z z²+az+a²=(z^3-a^3)/(z-a)
donc, en faisant z=1, 1+az+a²=(1-a^3)/(1-a) si a1 et =3 si a=1
Jusque là ça doit suivre...
donc quand a parcourt l'ensemble des racines de l'unité, sauf 1 , puisque l'application (a donne a^3) est bijective et que 1^3=1 , a^3 parcourt ce même ensemble : pour chaque a', il existera a tel que a^3=a'; donc (1-a^3)=(1-a') donc le produit de tous les termes (1-a^3) sera égal au produit des termes de la forme (1-a), et seul va rester le terme correspondant à a=1
donc f(1)=3. Compris?
Bonsoir;
Pour le II 1) je ferais la démonstration géomètrique suivante:
Soient les trois points ,
et
.
(*)Comme , le triangle
est inscrit dans le cercle unité.
(*)Comme , le centre de gravité
du triangle
est sur le cercle unité.
et il suffit de faire un dessin pour se convaincre qu'on a nécéssairement
c'est à dire que
Sauf erreur bien entendu 
hi elhor_abdelali..:que penses tu de l inégalité triangulaire?
3=|1+z+z'|<=|1|+|z|+|z'|=3
avec egalité si les points st alignés..cad z=z'=1
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