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Polygones réguliers

Posté par
Boss_maths 04-01-11 à 02:21

Bonsoir à tous,

Tout d'abord BONNE ANNEE à tous/toutes !
Voici un exercice sur le thème des angles orientés associés à des polygones.
Je ne suis pas sûr pour la 2ème question...

--- Enoncé ---
On considère, le plan orienté, un cercle de centre O et une demi droite de référence Ox; le sens de parcours sur le cercle est le sens direct.
- 1°) A, B, C sont les sommets d'un triangle équilatéral inscrit dans le cercle. Calculer, en fonction de l'angle polaire (\vec{Ox}, \vec{OA})=\alpha, les angles polaires (\vec{Ox}, \vec{OB}) et (\vec{Ox}, \vec{OC}).
- 2°) A_1, A_2... A_n sont les sommets d'un d'un polygone régulier convexe de n côtés incrit dans le cercle. Calculer, en fonction de l'angle polaire (\vec{Ox}, \vec{OA})=\alpha :
a) les angles polaires (\vec{Ox}, \vec{OA_2}), ...(\vec{Ox}, \vec{OA_n})
b) l'angle polaire de la médiatrice (\vec{Ox}, \vec{OH_p}) du côté A_p A_p_+_1; p est un entier compris entre 1 et n.

--- Ma solution ---
1°) Remarque : les angles au centre, formés par les sommets d'un triangle équilatéral incrit dans un cercle sont égaux entre eux à : 3$\frac{2\pi}{3}.
3$(\vec{Ox}, \vec{OB})=(\vec{Ox}, \vec{OA})+\frac{2\pi}{3}=\alpha+\frac{2\pi}{3} et 3$(\vec{Ox}, \vec{OC})=(\vec{Ox}, \vec{OA})+\frac{4\pi}{3}=\alpha+\frac{4\pi}{3}.

2°) Remarque :  les angles au centre, formés par les sommets d'un polygone convexe de n côtés, incrit dans un cercle, sont égaux entre eux à : 3$\frac{2\pi}{n}.

- a) 3$(\vec{Ox}, \vec{OA_2})=(\vec{Ox}, \vec{OA})+\frac{2\pi}{n}=\alpha+\frac{2\pi}{n} et 3$(\vec{Ox}, \vec{OA_n})= (\vec{Ox}, \vec{OA})+n\frac{2\pi}{n}=\alpha+n\frac{2\pi}{n}=\alpha (la boucle est bouclée !).

- b) l'angle polaire de la médiatrice : 3$(\vec{Ox}, \vec{OH_p})=\frac{(\vec{Ox}, \vec{OA_p})+(\vec{Ox}, \vec{OA_p_+_1})}{2}=\frac{\alpha+p\frac{2\pi}{n}+\alpha+(p+1)\frac{2\pi}{n}}{2}\Leftrightarrow(\vec{Ox}, \vec{OH_p})=\frac{2\alpha+(2p+1)\frac{2\pi}{n}}{2}=\alpha+\frac{\pi}{n}(2p+1)

Merci bcp pour une petite vérification,
@+

Posté par
Boss_mathsre : Polygones réguliers 04-01-11 à 11:15

Houston ?

Merci !

Posté par
Pierre_Dre : Polygones réguliers 04-01-11 à 15:06

Bonjour Boss_maths,
D'accord pour le 1), mais le 2a) est manifestement faux : An n'est pas confondu avec A1 ! Astreins-toi à calculer correctement  (\vec{Ox},\vec{OA_p})  pour p1 ou 2 ou n.
Le 2b) se déduit immédiatement du 2a) en lui ajoutant /n.

Posté par
Boss_mathsCorrection 05-01-11 à 02:04

Merci pour la réponse, j'ai rectifié 2a comme ceci :

3$(\vec{Ox}, \vec{OA_n})= (\vec{Ox}, \vec{OA})+(n-1)\frac{2\pi}{n}=\alpha+(n-1)\frac{2\pi}{n}

Pour calculer 2b je remplace p et p+1 dans 2a et j'obtiens :

3$(\vec{Ox}, \vec{OH_p})=\frac{(\vec{Ox}, \vec{OA_p})+(\vec{Ox}, \vec{OA_p_+_1})}{2}=\frac{\alpha+(p-1)\frac{2\pi}{n}+\alpha+(p+1-1)\frac{2\pi}{n}}{2}\Leftrightarrow(\vec{Ox}, \vec{OH_p})=\frac{2\alpha+(2p-1)\frac{2\pi}{n}}{2}=\alpha+\frac{\pi}{n}(2p-1)

C'est bon maintenant ? Encore merci.
@+

Posté par
Boss_mathsCorrection 05-01-11 à 14:08

Oyé, j'ai modifié, Merci pour une vérification.

@+

Posté par
Pierre_Dre : Polygones réguliers 05-01-11 à 16:13

C'est mieux mais insuffisant : il ne suffit pas de donner la réponse pour A2 et An, il faut la donner pour un Ap quelconque, pour p[1,n].
Quant à la médiatrice de ApAp+1, il est géométriquement évident qu'elle s'obtient en faisant tourner OAp de +1/2*2/n = +/n, ce qui est plus simple que ta demi-somme (dont le résultat est juste aussi, bien sûr).

Posté par
Boss_mathsCorrection (suite) 06-01-11 à 00:03

Merci pour la réponse. J'ai eu du mal à voir que p est l'indice ! (n nous renseigne sur la nature du polygone), réflexion faite :

2a) 3$(\vec{Ox}, \vec{OA_p})= (\vec{Ox}, \vec{OA})+(p-1)\frac{2\pi}{n}=\alpha+(p-1)\frac{2\pi}{n}. 3$(\vec{Ox}, \vec{OA_n}) n'est qu'un cas particulier pour p=n.

2b) Il suffit d'ajouter 3$\frac{\pi}{2} pour obtenir l'angle polaire de la médiatrice d'un côté quelconque, comme ceci :

3$(\vec{Ox}, \vec{OH_p})=\alpha+(p-1)\frac{2\pi}{n}+\frac{\pi}{2}=\alpha+(p+1)\frac{\pi}{n}

Ma formule différente par la demi somme : 3$(\vec{Ox}, \vec{OH_p})=\alpha+\frac{\pi}{n}(2p-1) prend elle en compte tous les côtés ?
Alors bon travail ?
Merci bcp, @+

Posté par
Pierre_Dre : Polygones réguliers 06-01-11 à 00:53

2a) Oui
2b) Non, 3$\alpha+(p-1)\frac{2\pi}{n}+\frac{\pi}{2}\ \neq\ \alpha+(p+1)\frac{\pi}{n}
et je t'ai déjà dit que ton résultat du message Posté le 05-01-11 à 02:04 était juste.

Posté par
Boss_mathsCorrection (fin !) 06-01-11 à 01:04

Ok, j'ai mal recopié le brouillon, c'est bien \frac{\pi}{n} qu'il faut ajouter :

2b) 3$(\vec{Ox}, \vec{OH_p})=\alpha+(p-1)\frac{2\pi}{n}+\frac{\pi}{n}=\alpha+(p+1)\frac{\pi}{n}. <pinaille>Cette expression différente de la demi somme est elle juste aussi ?</pinaille>

Merci @+

Posté par
Pierre_Dre : Polygones réguliers 06-01-11 à 01:31

Je n'avais même pas relevé ta faute de frappe ! Mais c'est toujours aussi faux. Pourquoi veux-tu absolument que 2(p-1)+1 = p+1 ?

Posté par
Boss_mathsOuf c'est la fin ! 06-01-11 à 01:52

Merci j'ai bien vu l'erreur de calcul. Il n'y a qu'une expression de juste et c'est :

2b) 3$(\vec{Ox}, \vec{OH_p})=\alpha+\frac{\pi}{n}(2p-1).

<idiot>Dans le cheminement de ma réflexion, j'était resté fixé sur le fait, que 2 approches différentes pour le calcul de 2b pouvait aboutir à 2 expressions différentes !</idiot>

Merci et Bonne nuit !


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