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Niveau seconde
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Polygones réguliers

Posté par
nabulka123
26-09-21 à 17:06

ABCD est un carré de centre O et de côté a. On trace les cercles de centres A, B, C et D et de même rayon IA.
Démontrer que les 8 points d'intersections de ces cercles avec les côtés du carré forment un octogone régulier dont on calculera le côté.

Mes recherches:
Montrons que les côtés de JKLMNOPQ ont même longueur
JK= AK-AJ
   =AK-(AD-DJ)
   =AK-AD+DJ
JK =2AK-AD


LM= CL-MC
     =CL-(DC-DM)
=AK-AD+AK
=2AK-AD
JK=LM, de meme, JK =LM= ON= QP

Pour QJ =JK, je bloque…  Merci d'avance pour l'aide

Polygones réguliers

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Polygones réguliers 26-09-21 à 17:21

Bonjour,
Le centre du carré est I plutôt que O, non ?

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Polygones réguliers 26-09-21 à 17:33

Commence par calculer le rayon IA des cercles en fonction de a.

Posté par
nabulka123
re : Polygones réguliers 26-09-21 à 18:18

Oui, le centre du carré est I (erreur de saisie dans l'énoncé de ma part)

IA =\frac{\sqrt{2}}{2}a

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Polygones réguliers 26-09-21 à 18:27

Oui ; tu peux en déduire les longueurs BP, AQ, KD, .... , CN en fonction de a.
A partir de là, trouver QJ et JK est possible.
Et tu vas les trouver égaux

Posté par
nabulka123
re : Polygones réguliers 26-09-21 à 21:16

BP= BP- QP
      =AI -(  2AK - AD)
      =AI - 2AI + a
BP=  a-AI
QJ= \sqrt{2AQ<sup>2</sup>}
QJ= AQ\sqrt{2}
     =(a-AI) 2
     =(a-\frac{\sqrt{2}}{2}a)\sqrt{2}
     =a\sqrt{2} - a
QJ=a(\sqrt{2} - 1)

JK = 2 AK - AD
       = a\sqrt{2} - a
JK = a(\sqrt{2} - 1)

Donc JKLMNOPQ est un octogone régulier de côté a(\sqrt{2} - 1)

Posté par
nabulka123
re : Polygones réguliers 26-09-21 à 22:18

Comment procéder pour calculer l'apothème de l'octogone?

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Polygones réguliers 27-09-21 à 07:40

Bonjour,
Je réponds pour tes calculs de 21h16.
IA =\frac{\sqrt{2}}{2}a : Trouvé auparavant.

Pour BP, je ne comprends pas le début.
Écrire directement BP =BA - AP.
Donc BP = BA - AI = a - a(2)/2 = a(1 - (2)/2).

Calcul de QJ : OK.

JK = 2 AK - AD
JK = AD -2AJ = AD -2BP = a - 2[a - a2)/2] = -a + a2 = a ((2) - 1)

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Polygones réguliers 27-09-21 à 07:43

Pour l'apothème, on peut utiliser le triangle IJK.



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