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Polynôme

Posté par
Pythix 20-05-07 à 10:55

Bonjour,
voici mon problème :

E=R[X] et E_{n}=R_{n}[X]
on définit : \Phi(P)=(X^2-1)P
U_{n}(X)=(X^{2}-1)^{n} et L_{n}(X)=\frac{1}{2^{n}n!}\frac{d^{n}}{dX^{n}}(U_{n}(X))

1) Justifier que l'on définit un endomorphisme. OK
2) Calculer L0,L1,L2. OK
L0=1 ; L1=X ; L2=1/2(3X²-1)
3) Donner le degré de Ln, et prouver
pour tout n de N : \sum \limits_{k=0}^{n} {n \choose k}^{2} = {2n \choose n} OK
5) Déterminer la parité de Ln. OK

6) En remarquant que (X^{2}-1)U_{n}'=2nXU_{n}
Prouver que \Phi(L_{n})=n(n+1)L_{n}
et là j'arrive dans des calculs foireux,
j'ai essayé la récurrence, de partir en dérivant la relation remarquée et j'aboutis sur des trucs comme \Phi(L_{n})=2(n+1)L_{n+1}' avec n>2 ou d'autres expressions ou il me reste un terme en U" ou des trucs du genre...

Merci d'avance pour toute aide!

Posté par
Camélia Correcteurre : Polynôme 20-05-07 à 14:41

Bonjour

L'énoncé me parait problèmatique depuis le début. Si P est non nul, il est clair que deg((P)) =deg(P)+2. Donc ce n'est pas un endomorphisme de En et un polynôme et son image ne peuvent pas être proportionnels!

Posté par
perroquetre : Polynôme 20-05-07 à 15:06

Il est très probable qu'en fait:

\phi(P)= (X^2-1)P''+2XP'

Posté par
Camélia Correcteurre : Polynôme 20-05-07 à 15:09

Bonjour perroquet

Comme ils s'appellent L, je m'en doute! mais il vaut mieux s'en assurer!

Posté par
perroquetre : Polynôme 20-05-07 à 15:44

Bonjour, Camélia
En effet, il vaut mieux s'en assurer !

Posté par
Pythixre : Polynôme 20-05-07 à 15:47

je confirme :
on définit : \Phi(P)=(X^2-1)P

Posté par
Pythixre : Polynôme 20-05-07 à 15:47

décidemment ca veut pas prendre la fin !
\Phi(P)=(X^2-1)P''+2XP'

Posté par
Pythixre : Polynôme 20-05-07 à 15:49

mais en fait, il fallait que je dérive n+1 fois la relation remarquée, avec Leibnitz ca marche!


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