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polynôme
Salut, j'ai un petit problème, pouvez vous m'aidez.
Soit A
[X] un polynôme non nul et z une racine simple de A.
On me demande de montrer que la partie polaire relative au pôle z dans la décomposition en éléments simples de 1/A est 1/(A'(z)(X-z))
Réponse:
On a: A(z)=0 et A(z)=(X-z)A1(z) avec A1(z)
0(car z est une racine simple de A, doù on a aussi A'(z)0)
On a: (on remarque deg(1/A) inférieure à 0) 1/A=(1/A1(z))/(X-z), d'où A1(z)/A(z)=1/(X-z)
(on remarque forcément que deg(A1(z)/A(z)) est inférieure à 0)
Mais je suis perdu, je ne vois pas comment faire intervenir la dérivée dans tout ca pouvez vous m'aidez?
Re Lipoupou,
il suffit d'écrire ta décomposition a priori:
avec et
En multipliant chaque membre par , en considérant la fonction fraction rationnelle associée et en faisant tendre X vers z, on constate que le membre de droite tend vers la partie polaire relative au pôle z, et que le membre de gauche est l'inverse du taux de variation de A en z (puisque A(z)=0).
Tigweg
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