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Polynome

Posté par margotte (invité) 03-09-05 à 17:53

bonjour, pouvez vous m'aider j'indique ce que j'ai fait à la fin de l'exo.
Première partie
a) i) Déterminer deux polynômes réels S et T tels que : R cos (2)= S(cos)
cos (3)= T (cos )

ii) Montrer que les polynômes S2- 1 et T²-1 sont divisibles par le polynôme X²-1 et déterminer le quotient des divisions euclidiennes de ces deux polynômes par X² -1 .
iii) Montrer que chacun de ces quotients est le carré d'un polynôme.
iv) Montrer que le polynôme S admet deux racines réelles appartenant à l'intervalle [-1, +1].
v) Montrer que le polynôme T admet trois racines réelles appartenant à l'intervalle [-1, +11.
b) i) Déterminer deux polynômes réels A et B tels que : R  cos (4 ) = A (cos ) . cos(5)= B(cos)
ii) Déterminer les racines de A et B et en déduire la valeur de cos(/10)
Deuxième partie
On considère la suite de polynômes (Pn) définie de la façon suivante : P0=l , P1=X VneN P(n+2)=2X.Pn+1-Pn
a) Vérifier que P2=S et P4=A.
b) i) Déterminer le degré et le coefficient du tenue de plus haut degré du polynôme Pn .
ii) Montrer que si n est pair, Pn est un polynôme pair et ne comprend que des tenues de degré pair.
e) Démontrer que pour tout entier naturel n Pn(cos ())= cos(n
d) i) Déterminer l'ensemble des racines de Pn appartenant à l'intervalle [-1, +1] puis l'ensemble des racines de Pn
ii) En déduire la décomposition du polynôme n dans R[X] .
iii) Calculer alors la valeur de L cos((2k+1)pi/2n), k,0,n-1 en discutant suivant les valeurs de n.
r_o 2n
e) Montrer que pour tout entier naturel n, (1 - X²) Pn''- X .Pn' + n² Pn = 0 et en déduire la valeur des coefficients de Pn.

je n'ai pas réussi du tout la première partie, je crois que j'ai tout oublier par contre j'ai fait 2)a)
pour b) i)si je cherche le monome dominant estce que c'est bon?
ii) j'arrive pas
c)ok
d)i) j'ai les racines mais pas sur [-1,+1]
ii)a partir de cette question je bloque sur toute la suite
merci par avance

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : Polynome 03-09-05 à 18:17

"je n'ai pas réussi du tout la première partie" !?

\cos2\theta=2\cos^2\theta-1, cela ne te dit rien ?

Puis :
\cos3\theta=\cos(\theta+2\theta)
=\cos\theta\cos 2\theta-\sin\theta\sin2\theta
=\cos\theta\cos 2\theta-2\sin\theta\sin\theta\cos\theta
=\cos\theta\cos 2\theta-2(1-\cos^2\theta)\cos\theta
=...

Posté par minotaure (invité)re : Polynome 03-09-05 à 18:46

salut

a i)

teta=t

cos(2t)=2*cos²(t)-1

et cos(3t)=(1/2)*[e^(3it)+e^(-3it)] = (1/2)*{[(e^(it)+e^(-it)]^3 - 3*[e^(it)+e^(-it)]} = 4*cos^3 (t) -3*cos(t)

d'ou exemple de S et T :

S(X)=2*X²-1 T(X)=4*X^3-3X

Posté par margotte (invité)re : Polynome 03-09-05 à 20:10

ok pour la première question mais comment je montre que S^2-1 et T²-1 sont divisible pour (S²-1)/(X²-1) je trouve 4x^4-4x^3  /  x²-1 qui donne 4x²-4x+4 et reste -4x+4 mais c'est pas la question il me semble...
je bloque toujours sur le reste

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : Polynome 03-09-05 à 20:16

S^2-1 et T^2-1 sont divisibles par X^2-1=(X-1)(X+1) s'ils admettent 1 et -1 comme racines. Est-ce le cas ?

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : Polynome 03-09-05 à 20:21

S(X)=2X^2-1
S(X)^2-1=4X^4-4X^2+1-1=4X^2(X^2-1)

T(X)=4X^3-3X
T^2(X)-1=...=16X^6-24X^4+9X^2-1 qui admet 1 et -1 comme racines

Posté par jmix90 (invité)re : Polynome 03-09-05 à 20:22

Bonjour,

Je procède par divisions des polynômes... Comme une division normale:

S(X)=2X^2-1 donc S^2(X)-1=X^4-4X^2
X^4-4X^2=4X^2(X^2-1) Donc X²-1 divise S^2(X)-1


T(X)=4X^3-3X donc T^2(X)-1=16X^6-24X^4-9X^2-1
16X^6-24X^4-9X^2-1=(16X^4+8X^2+1)(X^2-1) Donc X²-1 divise T^2(X)-1

Voila je pense que c'est ca

Posté par jmix90 (invité)re : Polynome 03-09-05 à 20:23

A la place de X[?]-1 lire X²-1 !

Posté par margotte (invité)re : Polynome 03-09-05 à 22:05

ok pour a)ii) mais ensuite comment je fais pour a)iii)?
après j'ai réussi a)iv) et v) ensuite j'ai réussi b)i mais après je bloque sur b)ii) commen faire pour cette question?
Après il reste la deuxième partie, j'ai déjà indiqué dans mon premier message les questions que je sais faire.
encore merci

Posté par jmix90 (invité)re : Polynome 03-09-05 à 23:41

Quel peut bien etre le polynome P tel que P²=4*X² ... mmh je dirai 2*X ...

Je reprends la remarque de Nicolas_75: Tu cherches un peu ?

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : Polynome 04-09-05 à 08:43

Première partie

a) i) Déterminer deux polynômes réels S et T tels que, pour tout theta dans R, cos(2theta)=S(cos(theta)) et cos(3theta)=T(cos(theta))

Par les formules de trigonométrie ou en passant en complexes, on obtient :
\fbox{S(X)=2X^2-1}
\fbox{T(X)=4X^3-3X}

ii) Montrer que les polynômes S^2-1 et T²-1 sont divisibles par le polynôme X²-1 et déterminer le quotient des divisions euclidiennes de ces deux polynômes par X² -1 .

\fbox{S(x)^2-1=4X^2(X^2-1)}

T(X)^2-1=...=16X^6-24X^4+9x^2-1 qui admet 1 et -1 comme racine
On peut donc factoriser par (X-1)(X+1) :
\fbox{T(X)^2-1=(X^2-1)(16X^4-8X^2+1)}

iii) Montrer que chacun de ces quotients est le carré d'un polynôme.

\frac{S(X)^2-1}{X^2-1}=4X^2=(2X)^2
\frac{T(X)^2-1}{X^2-1}=16X^4-8X^2+1=(4X^2-1)^2

iv) Montrer que le polynôme S admet deux racines réelles appartenant à l'intervalle [-1, +1].

S(X)=2X^2-1 admet 2 racines \pm\frac{1}{\sqrt{2}} dans [-1;+1]

v) Montrer que le polynôme T admet trois racines réelles appartenant à l'intervalle [-1, +1].

T(X)=4X^3-3X=X(4X^2-3) admet 3 racines 0, \pm\frac{\sqrt{3}}{2} dans [-1;+1]

b) i) Déterminer deux polynômes réels A et B tels que, pour tout theta dans R, cos(4theta) = A(cos(theta)) et cos(5theta)= B(cos(theta))

Par les formules de trigonométrie ou en passant en complexes, on obtient :
\fbox{A(X)=8X^4-8X^2+1}
\fbox{B(X)=16X^5-20X^3+5X}

ii) Déterminer les racines de A et B et en déduire la valeur de cos(pi/10)

A(X)=8X^4-8X^2+1
On reconnait un trinôme du second degré en x^2
Les 4 racines sont \pm\sqrt{\frac{2\pm\sqrt{2}}{4}}

B(X)=16X^5-20X^3+5X=X(16X^4-20X^2+5)
De même, on trouve les 5 racines : 0, \pm\sqrt{\frac{5\pm\sqrt{5}}{8}}

Les valeurs de x qui annulent \cos5x sont :

(1) les x tels que 5x=\pi/2 modulo \pi
donc, dans [0;\pi] : x=\frac{\pi}{10}, \frac{3\pi}{10}, \frac{5\pi}{10}, \frac{7\pi}{10}, \frac{9\pi}{10}

(2) les x tels que 16\cos^5x-20\cos^3x+5\cos x=\cos 5x=0
donc \cos x = 0 ou \pm\sqrt{\frac{5\pm\sqrt{5}}{8}}

On ne garde que les solutions \cos x>0 correspondant à x dans [0;\pi/2[ :

\cos\frac{\pi}{10} et \cos\frac{3\pi}{10} = \sqrt{\frac{5\pm\sqrt{5}}{8}}

En situant les 2 cosinus l'un par rapport à l'autre, on en déduit que :

\fbox{\cos\frac{\pi}{10}=\sqrt{\frac{5+\sqrt{5}}{8}}}

Sauf erreur.

Nicolas

Posté par margotte (invité)re : Polynome 04-09-05 à 11:10

merci bcp c'est maintenant Ok pour la partie I ensuite pour la deuxième partie, j'ai fait la a)
après pour la b si je trouve le monome dominant qui est 2^(n-1)X^n pour Pn est ce que ça répond à b)i) pour b)ii je n'y arrive pas
ensuite b)c) je l'ai fait
pour d)i) j'ai l'ensemble des racines sur k appartenant à [0; n-1] ce sont les réels cos(pi/2n +kpi/n) mais sur [-1,+1] je sais pas car j'ai commencer la question à l'envers, moi je remplacerai bien le k mais je sais pas comment l'expliquer.
pour d)ii) et iii) ainsi que e) je n'ai pas trouvé de réponse.
Encore merci

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : Polynome 04-09-05 à 11:33

Pas trop vite !

Exercice 2 b) i)
On montre par récurrence que P_n est de degré n et que son terme de plus haut degré admet pour coefficient 2^{n-1}
Est-ce bien cela que tu as trouvé ?

Exercice 2 b) ii)
Comment as-tu fait ?



Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : Polynome 04-09-05 à 11:43

Exercice 2 b) ii)

On peut facilement montrer par récurrence sur k que :
P(k) : "P_{2k} n'a que des termes de degré pair et P_{2k+1} n'a que des termes de degré impair"

Posté par margotte (invité)re : Polynome 04-09-05 à 12:56

pour 2b)i) je trouve que le monome dominant de Tn est 2^(n-1)X^n
pour 2b)ii), j'y arrive toujours pas... ainsi que d) et e)
encore merci

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : Polynome 04-09-05 à 13:05

Tu avais pourtant dit à 11h10 que b) était bon ?

Pour 2 b) ii), je prépare une réponse plus détaillée que mon message de 11h43, qui me semblait pourtant assez clair.

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : Polynome 04-09-05 à 13:11

2 b) ii) Montrer que si n est pair, Pn est un polynôme pair et ne comprend que des tenues de degré pair

Montrons par récurrence sur k la propriété Q(k) "P_2k n'a que des termes de degré pair et P_{2k+1} n'a que des termes de degré impair"

Q(0) est vraie, puisque P_0(X)=1 et P_1(X)=X.

Supposons Q(k) vraie.
On veut montrer Q(k+1).
P_{2k+2}(X)=2XP_{2k+1}-P_{2k}
=2X(polynome-dont-tous-les-termes-sont-impairs)-(polynome-dont-tous-les-termes-sont-pairs)
=(polynome-dont-tous-les-termes-sont-pairs)-(polynome-dont-tous-les-termes-sont-pairs)
=polynome-dont-tous-les-termes-sont-pairs

De même, on montrer que P_{2k+3}(X) n'a que des termes impairs.

Donc Q(k+1) est vraie.

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : Polynome 04-09-05 à 14:03

Exercice 2 c) Démontrer que pour tout entier naturel n, Pn(cos(theta))= cos(n.theta)

J'arrive à démontrer cette question, mais avec des calculs affreux.
Une astuce a dû m'échapper !

Pour montrer que P_n(\cos\theta)=\cos n\theta, étant donné que l'on sait déjà que P2=S et P4=A, il suffit de montrer que les cosinus suivent la même relation de récurrence :
R(n) : "\cos (n+2)\theta = 2\cos\theta\cos (n+1)\theta-\cos n\theta"

R(0) est vrai.
Supposons R(1), ... R(n-1) vraies, et montrons R(n).

\cos (n+2)\theta=\cos((n+1)\theta + \theta)
=\cos (n+1)\theta\cos\theta-\sin (n+1)\theta\sin\theta

or \sin (n+1)\theta=\sin(n\theta+\theta)=\sin n\theta\cos\theta+\cos n\theta\sin\theta

...=\cos (n+1)\theta\cos\theta-\sin\theta\cos\theta\sin n\theta-\sin^2\theta\cos n\theta
=\cos (n+1)\theta\cos\theta-\frac{1}{2}\sin 2\theta\sin n\theta-\cos n\theta+\cos^2\theta\cos n\theta

or \sin 2\theta\sin n\theta=\frac{\cos (n-2)\theta-\cos (n+2)\theta}{2}

...= \cos (n+1)\theta\cos\theta-\frac{1}{4}\cos (n-2)\theta+\frac{1}{4}\cos (n+2)\theta-\cos n\theta+\cos^2\theta\cos n\theta

or, en utilisant R(n-1) et R(n-2) :
\cos (n-2)\theta=2\cos\theta\cos (n-1)\theta-\cos n\theta=2\cos\theta(2\cos\theta\cos n\theta-\cos (n+1)\theta)-\cos n\theta
=4\cos^2\theta\cos n\theta-2\cos\theta\cos (n+1)\theta-\cos n\theta

...=\cos (n+1)\theta\cos\theta-\cos^2\theta\cos n\theta+\frac{1}{2}\cos\theta\cos (n+1)\theta+\frac{1}{4}\cos n\theta+\frac{1}{4}\cos (n+2)\theta-\cos n\theta+\cos^2\theta\cos n\theta

\frac{3}{4}\cos (n+2)\theta=\frac{3}{2}\cos\theta\cos (n+1)\theta-\frac{3}{4}\cos n\theta

\cos (n+2)\theta = 2\cos\theta\cos (n+1)\theta-\cos n\theta

CQFD

Nicolas

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : Polynome 04-09-05 à 15:02

Exercice 2 d) i) Déterminer l'ensemble des racines de Pn appartenant à l'intervalle [-1, +1] puis l'ensemble des racines de Pn

Puisque \cos n\theta=P_n(\cos\theta), on connait déjà des racines évidentes.
Ce sont les \cos\theta tels que \cos n\theta=0
C'est-à-dire :
n\theta=\frac{\pi}{2} modulo \pi
\theta=\frac{\pi}{2n} modulo \frac{\pi}{n}
\theta = \frac{\pi}{2n}, \frac{\pi+2\pi}{2n}, \frac{\pi+4\pi}{2n},..., \frac{\pi+(4n-2)\pi}{2n}
On ne garde que ceux dans [0;\pi], les autres ayant même cosinus.
\theta = \frac{\pi}{2n}, \frac{\pi+2\pi}{2n}, \frac{\pi+4\pi}{2n},..., \frac{\pi+(2n-2)\pi}{2n}

On a donc trouvé n racines distinctes de P_n
\cos\frac{\pi}{2n}, \cos\frac{\pi+2\pi}{2n}, \cos\frac{\pi+4\pi}{2n},..., \cos\frac{\pi+(2n-2)\pi}{2n}
Autrement dit : \cos\frac{\pi+2i\pi}{2n} avec i=0, ..., n-1
Comme P_n est de degré n, on a ainsi toutes les racines.

Sauf erreur.

Nicolas


Posté par margotte (invité)re : Polynome 04-09-05 à 15:14

alors je ne comprends pas pourquoi tu parles de degré impair dans cette question :Montrer que si n est pair, Pn est un polynôme pair et ne comprend que des tenues de degré pair sinon pour d)i) j'ai trouvé ca aussi mais la on a fait direct pour l'ensemble des racines de Pn comment faire sur [-1;1]
pour la c) j'ai fait une récurrence double au rang n et n-1 je suis partie de T(n+1)(cos t)=2costTn(cost)-Tn-1(cost) et ca va tout seul..
voilà encore merci il me reste d)ii) iii) et e) à faire car je trouve pas de solution

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : Polynome 04-09-05 à 15:14

Exercice 2 d) ii) En déduire la décomposition du polynôme n dans R[X]

Remarque : les racines trouvées s'écrivent aussi :
\cos\frac{(2k+1)\pi}{2n}, k=0, ...,n-1

On connait toutes les racines de P_n.
On connait également le coefficient de son terme de plus haut degré.

Donc P_n(X)=2^{n-1}\bigprod_{k=0}^{n-1}(X-\cos\frac{(2k+1)\pi}{2n})

Vérifions :
P_2(X)=2(X-\cos\frac{\pi}{4})(X-\cos\frac{3\pi}{4})=2(X-\frac{\sqrt{2}}{2})(X+\frac{\sqrt{2}}{2})=2(X^2-\frac{1}{2})=2X^2-1

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : Polynome 04-09-05 à 15:27

Exercice 2 d) iii) Calculer alors la valeur ...

P_n(X)=2^{n-1}\bigprod_{k=0}^{n-1}(X-\cos\frac{(2k+1)\pi}{2n})

Exprimons la valeur du polynôme en 0

P_n(0)=(-1)^n2^{n-1}\bigprod_{k=0}^{n-1}\cos\frac{(2k+1)\pi}{2n}

Si n est impair, on sait que P_n n'a pas de terme constant, donc P_n(0)=0

Si n est pair (n=2k), il est facile de voir par récurrence que :
- si k est impair, alors le terme constant du polynôme est -1
- si k est pair, alors le terme constant du polynôme est +1

Donc :
\bigprod_{k=0}^{n-1}\cos\frac{(2k+1)\pi}{2n}
= 0 si n impair
= \frac{-1}{2^{n-1}} si n est pair avec n/2 impair
= \frac{1}{2^{n-1}} si n est pair avec n/2 pair

Sauf erreur.

Nicolas

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : Polynome 04-09-05 à 15:51

margotte, à 15h14 tu dis :

(1) "alors je ne comprends pas pourquoi tu parles de degré impair dans cette question :Montrer que si n est pair, Pn est un polynôme pair et ne comprend que des tenues de degré pair"

Je n'arrive pas à montrer cette question en ne considérant que les n pairs. Pour pouvoir utiliser P_{n+2}=2XP_{n+1}-P_n, il me faut aussi des renseignement sur P_{n+1}, à savoir qu'il n'a que des termes de degré impair. D'où ma récurrence portant en même temps sur les rangs 2k et 2k+1.

(2) "sinon pour d)i) j'ai trouvé ca aussi mais la on a fait direct pour l'ensemble des racines de Pn comment faire sur [-1;1]"

On a trouvé n racines dans [-1;+1] (puisque ce sont des cosinus).
Comme le polynôme est de degré n, ce sont en fait toutes les racines.

(3) "pour la c) j'ai fait une récurrence double au rang n et n-1 je suis partie de T(n+1)(cos t)=2costTn(cost)-Tn-1(cost) et ca va tout seul.."

Tu as peut-être juste, mais je t'avoue que je ne comprends pas comment tu fais avec T_n.

Nicolas

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : Polynome 04-09-05 à 16:01

Exercice 2 e) Montrer que pour tout entier naturel n, (1 - X²) Pn''- X .Pn' + n² Pn = 0

En dérivant par rapport \theta :
(P_n(\cos\theta))''=\{{(\cos n\theta)''=-n^2\cos n\theta=-n^2P_n(\cos\theta)\\(-\sin\theta P_n'(\cos\theta))'=-\cos\theta P_n'(\cos\theta)+\sin^2\theta P_n''(\cos\theta)}

Donc :
\fbox{(1-X^2)P_n''-X.P_n'+n^2P_n=0}

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : Polynome 04-09-05 à 17:05

Dernière question : en déduire la valeur des coefficients de Pn

Pour celle-ci, c'est la fête !

P_n vérifie l'équation différentielle :
(1-X^2)P_n''-X.P_n'+n^2P_n=0

On pose P_n(X)=\alpha_nX^n+...+\alpha_0

De l'équation différentielle, en regardant le terme en X^i, on déduit :
(i+2)(i+1)\alpha_{i+2}-i(i-1)\alpha_i-i\alpha_i+n^2\alpha_i=0

Donc :
\fbox{\frac{\alpha_i}{\alpha_{i+2}}=-\frac{(i+1)(i+2)}{n^2-i^2}}

On connait \alpha_n=2^{n-1}. Partons de lui pour déduire les autres coefficients.

\alpha_{n-2k}=\alpha_n\bigprod_{i=1}^k\frac{a_{n-2i}}{\alpha_{n-2i+2}}
\alpha_{n-2k}=\alpha_n\bigprod_{i=1}^k(-\frac{(n+2i+1)(n-2i+2)}{n^2-(n-2i)^2})
\alpha_{n-2k}=\alpha_n(-1)^k\frac{\bigprod_{i=1}^k{(n-2i+1)(n-2i+2)}}{\bigprod_{i=1}^k{n^2-(n-2i)^2}}

Or \bigprod_{i=1}^k{(n-2i+1)(n-2i+2)}=(n-2k+1)...(n-1)n=\frac{n!}{(n-2k)!}
et \bigprod_{i=1}^k{n^2-(n-2i)^2}=\bigprod_{i=1}^k{(n-n+2i)(n+n-2i)}=2^{2k}\bigprod_{i=1}^ki(n-i)=2^{2k}k!\frac{(n-1)!}{(n-k-1)!}

Donc :
\alpha_{n-2k}=2^{n-1}(-1)^k\frac{n!(n-k-1)!}{(n-2k)!2^{2k}k!(n-1)!}

\fbox{\alpha_{n-2k}=(-1)^k2^{n-2k-1}\frac{n}{n-k}\({n-k\\k}\)}

où \({n-k\\k}\)=\frac{(n-k)!}{(n-2k)!k!} (combinatoire)

On vérifie par exemple, pour n=5 et k=1 :
\alpha_3=\alpha_{5-2.1}=(-1)^12^{5-2.1-1}\frac{5}{5-1}\({5-1\\1}\)=-4\frac{5}{4}4=-20
Correct !

Nicolas


Posté par margotte (invité)re : Polynome 04-09-05 à 18:00

alors voici ce que j'ai fait comme récurrence :
Pour n=0 et n=1 vrai
après au rang n et n-1 on a T(n+1)(cost)=2costTn(cost)-T(n-1)(cost)
=2costcos(nt)-cos(nt)cost-sin(nt)sint
=cost cos(nt)-sin(nt)sint
=cos((n+1)t)
voila! je pense que c'est bon encore merci pour tout! je vais faire une pause et réfléchir à tout ca! Merci
PS: est ce que tu pourrais jeter un coup d'oeil à polynomes pour la question 3)a) b) c) d) c'est vraiment bizarre je trouve et je suis bloquée dessus...

Posté par margotte (invité)re : Polynome 04-09-05 à 18:01

euh désolé le sujet c'est complexe pardon

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : Polynome 04-09-05 à 18:08

margotte, je suis un peu fatigué, mais je ne comprends pas ta démonstration pour la récurrence. Pourquoi T(X)=4X^3-3X intervient-il ? Comment peus-tu écrire T(n+1)(cost)=2costTn(cost)-T(n-1)(cost) ?

Posté par margotte (invité)re : Polynome 04-09-05 à 18:09

pardon remplace tous les T par P, désolé!!

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : Polynome 05-09-05 à 04:25

Bonjour margotte,

(1) Ton raisonnement avec les T qui sont en fait des P_n me semble juste, et est bien plus rapide que le mien.

(2) "est ce que tu pourrais jeter un coup d'oeil à [l'autre fil "complexes"] pour la question 3)a) b) c) d) c'est vraiment bizarre je trouve et je suis bloquée dessus..."
Je trouve un peu "dur" que tu me sollicites ainsi pour un autre problème, alors que j'ai passé beaucoup de temps sur celui-ci. D'ailleurs, je n'ai pas eu de retour de ta part sur mes propositions pour les dernières questions. J'espère que tu as conscience du travail qui est caché derrière la résolution et la rédaction de ces réponses. Mais cela m'a bien plu ! En particulier la dernière question. N'oublie pas que c'est à toi de faire ces devoirs, pas à nous. Tu n'es plus en Terminale : il est normal que les devoirs soient plus difficiles. La réponse ne vient pas "tout de suite" comme au lycée : il faut chercher un peu !


Nicolas

Posté par margotte (invité)re : Polynome 05-09-05 à 18:39

désolé mais quand tu m'aides pour un exo je comprends de suite, tes réponses sont claires, précises, sans ambiguité. C'est vrai que j'ai un peu abusé sur ce coup là, mais le problème c'est que je n'ai pas que des maths, la bio prend un temps fou et la physique chimie aussi, sans compter le reste. C'est un moyen comme un autre d'avancer plus vite, mais je cherche bcp avant de poser l'exo tout de même...(comme ça je me rends compte de la où ca pèche!)
Encore merci

Posté par margotte (invité)re : Polynome 05-09-05 à 22:39

voilà je refais cet exo et je me rend compte qu'il y a une question pour l'instant qui me pose encore problème. c'est la b)ii) quand je fais ma récurrence j'ai: P2k+2(X)=2sum(-1)^(p-k)a(2k+1)X^(2k+2),k,0,p -sum(-1)^(p-k)a(2k)X^(2k),k,0,p mais après comme je fais pour montrer que Pn est un poly pair qui ne comprend que des termes de degré pair??
Merci

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : Polynome 06-09-05 à 08:16

Pour la 2)b)ii), regarde à nouveau ma proposition de démonstration du 04/09/2005 à 13:11 :
Si on suppose que P_{2k} n'a que des termes de degré pair et P_{2k+1} n'a que des termes de degré impair (hypothèse de récurrence), alors il n'est pas difficile de voir que :
- P_{2k+2} n'a que des termes de degré pair
- P_{2k+3} n'a que des termes de degré impair

Nicolas

Posté par margotte (invité)re : Polynome 06-09-05 à 18:39

mais on doit pas formaliser l'écriture je laisse P(2k+2) et P(2k+3) ??

Posté par margotte (invité)re : Polynome 06-09-05 à 22:18

une autre petite question pourquoi pour la question 2)d)iii) c'est -1/2^(n-1) et pas -1*2^(n-1) merci

Posté par margotte (invité)re : Polynome 06-09-05 à 22:41

sinon j'essaye de comprendre la toute dernière question depuis un petit bout de temps mais c'est pas gagné je ne vois pas comment tu trouves
(i+2)(i+1)a(i+2)-i(i-1)ai-iai+n²ai=0 ensuite je ne comprends pas les lignes avec a(n-2k) qui suivent.
Encore merci

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : Polynome 07-09-05 à 08:19

Bonjour margotte,

Au sujet de tes 4 questions :

(1) "mais on doit pas formaliser l'écriture je laisse P(2k+2) et P(2k+3) ??"

Je ne comprends pas ce que tu veux dire.

(2) une autre petite question pourquoi pour la question 2)d)iii) c'est -1/2^(n-1) et pas -1*2^(n-1)

J'imagine que tu fais référence au résultat final de la question.

Il y a deux raisons :

1. C'est un produit de cosinus, chacun compris entre -1 et +1 => le résultat est aussi compris entre -1 et +1 (c'est qqc que tu devrais pouvoir remarquer seule )

2. On a montré que :
Pn(0)=(-1)^n2^{n-1}\bigprod_{k=0}^{n-1} \cos\frac{(2k+1)\pi}{2n}
Donc, en divisant chaque membre de l'égalité par (-1)^n2^{n-1} (cela ne me parait pas très difficile) :
\bigprod_{k=0}^{n-1} \cos\frac{(2k+1)\pi}{2n}=Pn(0)(-1)^n\frac{1}{2^{n-1}}
Il reste à trouver la valeur de P_n(0) en fonction de la parité de n (cf. mon message sur cette question)
Où est le problème ?

(3) "je ne vois pas comment tu trouves (i+2)(i+1)a(i+2)-i(i-1)ai-iai+n²ai=0"

(1-X^2)P''_{n}(X)-XP'_{n}(X)+n^2P_n(X)=0
(1-X^2)(\Bigsum_{i=0}^n\alpha_iX^i)''-X(\Bigsum_{i=0}^n\alpha_iX^i)'+n^2(\Bigsum_{i=0}^n\alpha_iX^i)=0
(1-X^2)(\Bigsum_{i=1}^{n}i\alpha_iX^{i-1})'-X(\Bigsum_{i=1}^{n}i\alpha_iX^{i-1})+n^2(\Bigsum_{i=0}^n\alpha_iX^i)=0
(1-X^2)(\Bigsum_{i=2}^{n}i(i-1)\alpha_iX^{i-2})-X(\Bigsum_{i=1}^{n}i\alpha_iX^{i-1})+n^2(\Bigsum_{i=0}^n\alpha_iX^i)=0
On fait un changement d'indice dans les deux premières sommes
(1-X^2)(\Bigsum_{i=0}^{n-2}(i+2)(i+1)\alpha_{i+2}X^{i})-X(\Bigsum_{i=0}^{n-1}(i+1)\alpha_{i+1}X^{i})+n^2(\Bigsum_{i=0}^n\alpha_iX^i)=0
(\Bigsum_{i=0}^{n-2}(i+2)(i+1)\alpha_{i+2}X^{i})-(\Bigsum_{i=0}^{n-2}(i+2)(i+1)\alpha_{i+2}X^{i+2})-(\Bigsum_{i=0}^{n-1}(i+1)\alpha_{i+1}X^{i+1})+n^2(\Bigsum_{i=0}^n\alpha_iX^i)=0
On refait un changement d'indice dans les sommes 2 et 3 :
(\Bigsum_{i=0}^{n-2}(i+2)(i+1)\alpha_{i+2}X^{i})-(\Bigsum_{i=2}^{n}(i)(i-1)\alpha_{i}X^{i})-(\Bigsum_{i=1}^{n}(i)\alpha_{i}X^{i})+n^2(\Bigsum_{i=0}^n\alpha_iX^i)=0
En annulant le terme en X^i de ce polynôme, on obtient la relation de récurrence.

(4) je ne comprends pas les lignes avec a(n-2k) qui suivent

\alpha_{n-2k}=\alpha_n.\frac{\alpha_{n-2}}{\alpha_{n}}.\frac{\alpha_{n-4}}{\alpha_{n-2}}...\frac{\alpha_{n-2k}}{\alpha_{n-2k+2}}
=\alpha_n.\bigprod_{i=1}^k\frac{\alpha_{n-2i}}{\alpha_{n-2i+2}}
Or on connait l'expression de \frac{\alpha_{n-2i}}{\alpha_{n-2i+2}} d'après ce qui précède.

Nicolas


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