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Polynôme
Bonsoir,
Soit le polynôme:
Déterminer et
sachant que
est divisible par
et que P(x) n'admet que
racines distinctes.
Ce que j'ai fait:
Sachant que est divisible par
:
où
est de degré
.
ayant deux racines distinctes qui sont
et
,
Q(x) ne doit avoir qu'une seule racine ( et
pour que P(x) ait 3 racines distinctes.
et
En développant le tout dans le membre de droite, et en identifiant les coefficients entre eux, j'obtiens que:
Ce qui ne serait pas possible car P(x) n'aurait que 2 racines distinctes 
Après il est facile de déterminer la valeur de et
.
Mais du coup, cela ne serait pas possible?
La somme des racines de est
S'il a 4 racines, dont une double , on doit avoir
, d'où effectivement
Il faudrait supprimer le qualificatif de "distinctes" dans l'énoncé.
???
Ou ajouter si possible dans l'énoncé :p
Le principal étant que mon raisonnement soit correct pour ma part. D'où ma demande pour vérification.
Notez que j'ai obtenu en égalant les coefficients en
:
D'où pourquoi j'ai pas été plus loin pour a,b,c.
Ton raisonnement est correct. On aurait pu penser à une troisième racine nulle, mais ici, ce n'est pas possible.
La somme des racines de P(x) est connue sans qu'on ait à les calculer.
Sinon P(x) n'admet que deux racines distinctes: et
. Or, dans l'énoncé, il était demandé d'en avoir 3 distinctes.
Voilà pourquoi j'avais écrit et
Pourquoi n'aurait-on pas 1 comme racine double, -1/2 comme racine simple et une autre racine simple ?
Je reviendrai demain.
Bonne nuit.
Message édité
Bonjour,
J'ai édité mon message hier car je donnais la valeur de l'autre racine simple.
La nuit porte conseil, c'est bien connu.
On peut exploiter le fait que -1/2 annule 2x4 + x3 en le factorisant :
2x4 + x3 = x3(2x+1).
D'après les données, -1/2 annule aussi le polynôme Q(x) défini par
Q(x) = ax2+bx+c.
D'où Q(x) = (2x+1) ((a/2)x+c).
Puis P(x) = (2x+1)( x3 + (a/2)x - ((a/2)+1).
Le second facteur se factorise sans difficulté par (x-1).
Il reste à travailler sur un polynôme de degré 2.
J'ai oublié de parler de P(1).
P(x) = x3(2x+1) + (2x+1) ((a/2)x+c)
P(1) = 0 permet d'obtenir c en fonction de a.
J'insiste.
Le principal étant que mon raisonnement soit correct pour ma part.
Le raisonnement est incorrect ici :
Q(x) ne doit avoir qu'une seule racine (
L'une d'elle est alors 1 ou -1/2.
La journée aussi porte conseil 
Il est plus simple d'utiliser la méthode de larrech avec la somme des racines.
Il y a trois racines distinctes -1/2, 1 et t.
L'une des trois est une racine double.
1) Si c'est -1/2 alors -1+1+t = -1/2.
2) Si c'est 1 alors -1/2 + 2 + t = -1/2.
3) Si c'est t alors alors -1/2 + 1 + 2t = -1/2.
Seul le cas 2) donne t distinct de -1/2.
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