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polynome annulateur
soit g lendomorphisme de lensemble des matrices carrées réelles d'ordre n( n>=2)
soit M élément de cet ensemble
on note g(M)= M + tr(M).I (I est la matrice unité)
on me demande de prouver que (X-1)² est polynome annulateur de g
je me propose alors de montrer que P(g)= 0
c a dire
( g - I)² = 0
mais apres je bloque
si vous pouvez m'aider...
merci!
g(M) = M + tr(M).J ou J est une matrice de lensemble définnisant g dont la trace est nulle mais J n'est pas la matrice nulle
désolé de la distraction c'était la question précédente!!...
mon but est de montrer que 5x-1)² est polynome annulateur de de g
or je bloque une fois arrivé a
(g-I)² = 0
je pense devoir utiliser le fait que la trace de J est nulle mais je ne vois pas comment...
Bonsoir,
pour tout M
(g(M)-M)^2=(tr(M)J)^2
Je ne vois pas de raison a priori pour que tr(M)^2J^2= soit nul.
Est ce vrai, ou manque t'il une hypothèse?
Notamment dans le cas M=I ca donne J^2=0, mais une matrice de trace nulle n'est pas forcément nilpotente.
Sauf erreur
EN FAIT ON SAIT JUSTE QUE J est une matrice non nulle mais dont la trace es t nulle
et g est un endomorphisme tel que
g(M) = M + tr(M).J
et M Désigne n'importe quelle matrice carrée de réels d'ordre n
la seule hypothese héritée de la question précédente serait alors le fait
que l application f définie par
f(M)= M +tr(M).I est un automorphisme diagonalisable
voila merci encore !!
Bonsoir otto et mickachef;
Notons
(*)Je crois qu'un polynome annulateur de l'endomorphisme est plutot
En effet pour toute matrice on a:
(*)Vu que est scindé à racine simple et que
on conclut que
est un automorphisme diagonalisable de
.
Sauf erreurs bien entendu 
Bonsoir;
Je n'avais pas vu la réctification de mickachef:
où
est une matrice non nulle telle que
En remarquant que on peut écrire:
donc le polynome est bien un annulateur de l'endomorphisme
.
(*) n'est pas valeur propre de
ce qui prouve que
est un automorphisme de
.
(*) est l'unique valeur propre de
ce qui prouve que
n'est pas diagonalisable car s'il l'était il serait l'
ce qui donnerait que
contrairement à l'hypothèse sur
Sauf erreurs bien entendu
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