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Polynôme annulateur
Bonjour,
J'aimerai vous demander si un polynôme annulateur d'un endomorphisme sur un corps K , reste annulateur sur tout sur-corps de K ? Si on est en dimension finie alors pour le polynôme caractéristique je pense que oui puisque le déterminant ne change pas en changeant de corps.
Et si oui, est-ce que le polynôme minimal restera minimal sur tout sur-corps ?
Une autre question qui me tracasse, est-ce qu'en dimension quelconque, si un endormorphisme admet un polynôme minimal alors les valeurs propres dans un corps K de cet endomorphisme sont exactement les racines dans K de son polynôme minimal ? Je sais que le spectre de l'endomorphisme sera inclus dans les racines du polynôme minimal mais a t on égalité ? En dimension finie on a bien l'égalité car on a existence du polynôme caractéristique.
J'espère que vous pourrez m'aider afin de maîtriser ces détails de la réduction.
Merci d'avance,
Oui, un polynome annulateur reste annulateur apres extension des scalaire, et le polynome minimal reste le polynome minimal apres extension des scalaires.
Un endomorphisme d'un espace de dimension infinie n'admet pas nécéssairement de polynome annulateur (non nul).
Si f est un endomorphisme de V, et que P annule f, alors f stabilise un espace dimension finie.
Si t est une racine du polynome minimal R, alors V=ker(f-t)^n\oplus V' pour un certain n qui est l'exposant de (X-t) dans R. Si ker(f-t)^n est trivial alors R/(X-t)^n est un polynome annulateur de f.
S'il ne l'est pas, alors ker(f-t)^n est stable par f, et mieux f stabilise un sous espace la dedans de dimension finie (celui engenré par x,f(x),...,f^{n}(x) pour un x non nul), et alors tu as un espace de dimension finie, avec f agissant dessus et ayant comme polynome minimal une puissance de (X-t), donc il existe un vecteur propre associé à t.
Bonsoir,
Je vous remercie pour votre réponse. Comment on pourrait montrer qu'un polynôme annulateur reste annulateur et que le polynôme minimal reste minimal après extension des scalaires s'il vous plaît ?
Sinon pour votre deuxième remarque, est-ce que le sous-espace stable de dimension finie serait Vect{x,...,} ( car
et donc on peut exprimer
en fonction des autres puissances.
Le fait qu'un polynome annulateur reste annulateur est évident.
Ne serait ce que parce que ce le fait qu'un polynome annule un endomorphisme peut se tester matriciellement et que la matrice "ne change pas" par extension des scalaires.
Le fait que le polynome minimal reste minimal est tout aussi evident, une extension de corps et
les idéaux des polynomes annulateurs de ton endormorphisme sur
et
(c'est l'espace V où l'on a étendu les scalaires à K, autrement dit c'est
mais en spé tu as peut etre du le construire à la main), alors
, le moyen le plus simple est sans doute de remarquer que l'equation
donne un systeme linéaire de n^2 équation en x_0,...,x_n à coefficient dans k, et donc s'il a une solution tu peux toujours trouver une solution dans k^(n^2).
On peut donner une preuve plus conceptuelle si l'on sait ce qu'est le produit tensoriel.
Sinon pour votre deuxième remarque, est-ce que le sous-espace stable de dimension finie serait Vect{x,...,
Oui, je l'ai d'ailleurs écrit, mais en fait je m'apercois qu'il existe une preuve encore plus immédiate.
Si (X-t) divise le polynome minimal alors celui ci s'ecrit (X-t)R, avec R qui n'est pas annulateur, il existe donc x tel que y=R(f)(x) est non nul, et donc f(y)=ty et t est valeur propre.
Bonsoir,
Je vous remercie pour vos réponses. J'ai compris pourquoi un polynôme annulateur reste annulateur en travaillant avec des matrices, mais si on a un endomorphisme u d'un k-espace vectoriel de dimension infinie Eet qui admet un polynôme annulateur non nul P, est-ce que P serait annulateur de u en étendant le corps des scalaires k à K.
Sinon pour ce qui est du polynôme minimal je n'ai pas compris la preuve. Je n'ai pas compris d'où vient l'équation et je ne comprends pas aussi pourquoi c'est un système linéaire en n2 équations.
J'espère que vous pourrez me donner plus d'explications et m'aider afin de comprendre les effets d'extension des scalaires.
Merci d'avance,
Ce serait pas mal si tu precisais à l'avance si tu te placais en dimension fini ou pas.
Avant toute chose quelle est ta définition, si V est un espace vectoriel sur k, la définition de V_K, l'espace obtenu par extension des scalaires de k à K?
Pour moi (et pour tout le monde) la définition est .
En dimension finie on peut donner une définition ad hoc qui evite l'usage du produit tensoriel (que je me doute que tu n'as pas vu si tu es en spé), qui est .
Cette définition ne fonctionne pas en dimension infinie.
Dans tous les cas un element de V_K peut s'écrire comme somme des t_iv_i avec v_i dans V et t_i dans K.
Si f est un endormorphisme de V, alors f donne un endomorphisme de V_K qui est K-linéaire qui vérifie f(tv)=tf(v) pour tou v dans V et tout t dans K.
Je vous remercie pour vos réponses. J'ai compris pourquoi un polynôme annulateur reste annulateur en travaillant avec des matrices, mais si on a un endomorphisme u d'un k-espace vectoriel de dimension infinie Eet qui admet un polynôme annulateur non nul P, est-ce que P serait annulateur de u en étendant le corps des scalaires k à K.
Du coup c'est évident, si sur f tu as
Sinon pour ce qui est du polynôme minimal je n'ai pas compris la preuve. Je n'ai pas compris d'où vient l'équation
C'est parce que j'ai utilisé n pour deux choses differentes, la dimension de l'espace et le degré du polynome. C'est un systeme en d^2 équations, si d est la dimension de l'espace et n le degré du polynome minimal (ou de n'importe quel polynome annulateur en fait).
Bonsoir,
Je vous remercie pour votre réponse. Ma définition de l'espace obtenu après extension des scalaires est seulement le nouvel espace avec un corps K au lieu de k.
J'ai compris la démonstration pour le polynôme annulateur. Mais celle du polynôme minimale je ne sais toujours pad d'où proviennent les d2 équations. Est-ce que vous pourrez détailer un peu plus votre raisonnement s'il vous plaît ?
Merci d'avance,
Bonsoir,
Je vous remercie pour votre réponse. Ma définition de l'espace obtenu après extension des scalaires est seulement le nouvel espace avec un corps K au lieu de k.
Ca ne veut pas dire grand chose, c'est quoi "le nouvel espace avec le corps K au lieu de k", il faut le définir proprement.
J'ai compris la démonstration pour le polynôme annulateur. Mais celle du polynôme minimale je ne sais toujours pad d'où proviennent les d2 équations. Est-ce que vous pourrez détailer un peu plus votre raisonnement s'il vous plaît ?
Si tu écris matriciellement l'équation x_0+...+x_nf^n=0, cela te donne d^2 équations dont les inconnus sont x_0,... x_n et dont les coefficients dont à coefficients dans k. Si un une telle équation à une solution alors elle à une solution dans k^n (par les formules de Cramer par exemple).
Bonsoir,
Je veux dire c'est comme avec et
. On prend les vecteurs de V et on prend les scalaires de K.
Je comprends maintenant. Merci pour votre aide et vos réponses.
Bonsoir,
Je veux dire c'est comme avec
Mais tu te rend bien compte que tu ne définis rien du tout la?
Par exemple R est un Q-ev, quel espace obtiens tu apres avoir étendu les scalaires de Q à Q[racine(2)] par exemple?
Mais encore? qu'est ce que ca veut dire :
constitué des vecteurs de
et des scalaires qui proviennent de 
[Je comprend pas bien l'interet d'étudier une notion que tu ne sais pas définir....
Par exemple
R est un Q-ev, quel espace obtiens tu apres avoir étendu les scalaires de Q à Q[racine(2)] par exemple?
L'espace en question est de manière naturelle un R-ev, qu'elle est sa dimension sur R?
Je n'ai pas de réponses claires comme vous l'avez remarqué. Sinon l'intérêt c'est que par exemple Mn() et Mn(
) sont bien définies ( je suppose ) et aussi [X] et [X] ... je voulais savoir ce qu'il se passait lorsqu'on passait de l'un à l'autre. Je n'avais pas pensé que si je posais la question de manière générale alors ca pourrait poser problème.
Par exemple
R est un Q-ev, quel espace obtiens tu apres avoir étendu les scalaires de Q à Q[racine(2)] par exemple?
L'espace en question est de manière naturelle un R-ev, qu'elle est sa dimension sur R?
De dimension infinie.
Je n'ai pas de réponses claires comme vous l'avez remarqué. Sinon l'intérêt c'est que par exemple Mn(
) et Mn() sont bien définies ( je suppose ) et aussi [X] et [X] ... je voulais savoir ce qu'il se passait lorsqu'on passait de l'un à l'autre. Je n'avais pas pensé que si je posais la question de manière générale alors ca pourrait poser problème. Le cas général ne pose pas spécialement problème, encore faut il savoir définir les objets en question.
Les outils pour le faire ne sont pas vraiment disponible en prepa (quoique pas difficiles du tout pourtant), meme si on peut donner une définition un peu détournée qui fonctionne en dimension finie (et que j'ai donnée plus haut).
Si les cas qui t'interessent sont simplement R et C alors tu peux te limiter simplement à cela.
De dimension infinie.
Non, de dimension 2.
Bonjour,
Merci énormément pour vos réponses. J'ai cherché comment ca se définit l'extension des scalaires... et j'ai trouvé l'utilisation de produit tensoriel... j'essaierai d'étudier tout cela lorsque je le pourrai, car je vois qu'à cause de ma méconaissance du sujet je fais beaucoup d'erreurs.
La dimension 2 est dûe au fait que [] est dense dans
? ( je n'en suis pas sûr je n'ai pas encore eu le temps de rédiger une démonstration )
Merci d'avance,
Bonjour,
Merci énormément pour vos réponses. J'ai cherché comment ca se définit l'extension des scalaires... et j'ai trouvé l'utilisation de produit tensoriel... j'essaierai d'étudier tout cela lorsque je le pourrai, car je vois qu'à cause de ma méconaissance du sujet je fais beaucoup d'erreurs.
Oui, dans le cas général ca se construit via un produit tensoriel.
Dans le cas simples de k-ev de dimension finie, tu peux utiliser la définition que j'ai donnée plus haut et qui est équivalente;
La raison est tres simple, si V est un espace de formes k-linéaires disons s'écrit W* pour W un certain k-ev, alors l'extension V_K est simplement les applications k-linéaires de W dans K.
Maintenant si V est de dimension finie V est toujours l'espace des formes k-linéaires de son dual et on peut appliquer la construction precedent ou W=V*, mais ceci ne fonctionne pas en dimension infinie, car alors V est plus petit que son bidual.
Cela donne la meme construction que le cas général car tu as
La dimension 2 est dûe au fait que
[ ? Non, c'est du au fait que Q(racine(2)) est de dimension 2 sur Q.
La raison est tres simple, si V est un espace de formes k-linéaires disons s'écrit W* pour W un certain k-ev, alors l'extension V_K est simplement les applications k-linéaires de W dans K.
J'ajoute que l'on fait souvent ça sans le dire, meme en prepa dans le contexte C/R.
Si V est un R-espace alors une forme linéaire sur V est a fortiori une application R-linéaire de V dans C, qui est donc un C-espace plus gros qui "contient" V^* et donc dans lequel on peut prendre des combinaisons C-linéaire de formes R-linéaires, et qui ne seront donc plus des formes R-linéaires mais simplement des applications R-linéaires à valeur dans C.
Ici c'est exactement la meme chose avec l'extention K/k, une forme k-linéaire est a fortiori une application k-linéaire dans K, et on peut prendre des combinaisons K-linéaires de formes k-linéaires.
Bonjour,
Merci beaucoup pour vos réponses. Alors si j'ai bien compris, on part du constat que si W k-ev et V son dual, alors VK est l'ensemble des formes k-linéaires de W dans K et non les formes K-linéaires. Et je pense que qu'il y a une bijection entre un espace V et son bidual, c'est pour cela qu'on se permet de voir V comme le bidual donc un ensemble de formes linéaires
Merci d'avance,
Alors si j'ai bien compris, on part du constat que si W k-ev et V son dual, alors VK est l'ensemble des formes k-linéaires de W dans K et non les formes K-linéaires.
C'est pas un constat, c'est une définition (enfin si on donne comme définition
Par exemple quel sens aurait de parler d'une application C-linéaire de R^n dans C? On peut par contre parler d'application R-linéaire de R^n dans C, d'ailleurs tu peux t'apercevoir que l'espace des applications R-linéaires de R^n dans C à une structure naturelle de C-ev et qu'il est isomorphe à C^n, ce qui est bien ce qu'on veut pour l'extension des scalaires de R à C pour R^n.
Cela fonctionne bien entendu dans le cas general tu as
Et je pense que qu'il y a une bijection entre un espace V et son bidual, c'est pour cela qu'on se permet de voir V comme le bidual donc un ensemble de formes linéaires
Oui, il y a meme beaucoup plus qu'une bijection, y a un isomorphisme canonique (en dimension finie) de sorte qu'on peut identifier V à son bidual (le dual de son dual).
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