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polynôme annulateur
Bonsoir,
parfois on nous demande de trouver une relation entre les endomorphismes qui donne l'endomorphisme nul. Cela permet de trouver les valeurs propres en utilisant les polynômes annulateurs. Par exemple, si on f^2-4Id = 0 cela veut dire que X^2-4 est une polynôme annualteur. Le passage entre ces deux idées me semble un peu brève. Qu'est-ce que nous permet de se référer aux polynômes annulateurs à apr le fait que la realtion est nulle? Par exemple, le fait qu'on change d'objet me bloque un peu (on passe des endomoprphismes à des focntions polynomiales ou dans ceratins cas des matrices à des focntions polynomiales)
Merci et bonne soirée.
Bonsoir
que signifie pour toi l'expression " le polynôme X²-4 est annulateur de la matrice A" ? ou " le polynôme X²-4 est annulateur de l'endomorphisme f" ?
Сela signifie qu'on pose un polynôme P(X) = X^2 -4 et ensuite on l'évalue en A, donc P(A) = A^2 - 4I = 0. Juste ces objets sont tellement diffrents que la rédaction X^2 - 4 me semble trop brève et j'essaie de comprendre si un détail important ne m'échappe pas dans la compréhension
Bonjour,
Qu'est-ce qu'un polynôme à coefficient dans le corps , autrement dit un élément de
. De façon informelle, c'est un programme de calcul à partir de l'indéterminée
utilisant les constantes de
, l'addition et la multiplication. Et ce programme de calcul, on peut l'évaluer en remplaçant
par n'importe quel objet pour lequel les instructions de ce programme font sens. Mathématiquement, on peut évaluer le polynôme
en n'importe quel élément
d'une
-algèbre
, et ça nous donne un élément de
.
Exemples de -algèbres et illustration pour
:
1) lui même. On peut évaluer
en un élément
, ça nous donne
.
2) : on peut évaluer
en un élément
, ça nous donne le polynôme
.
3) , la
-algèbre des endomorphismes du
-espace vectoriel
. On peut évaluer
en l'endomorphisme
et ça nous donne l'endomorphisme
.
4) , la
-algèbre des matrices carrées de taille
. On peut évaluer
en une matrice
et ça nous donne
.
On peut continuer avec d'autres exemple de -algèbres, par exemple la
-algèbre des fonctions d'un ensemble
dans
, etc.. Un polynôme peut s'évaluer sur tout un tas d'objets différents.
Bonsoir
Pour prolonger ce que dit Sylvieg:
si f est représentée par une matrice A, alors f2 = fof sera représentée par la matrice AxA = A2
Oui bien sûr, le produit dans l'algèbre des endomorphismes est la composition. Que pourrait-ce être d'autre ?
Rien d'autre quand on parle d'espace vectoriel et d'application linéaire, mais autre chose si on travaille dans l'algèbre des fonctions de 
vers par exemple.
Pas toujours évident pour les étudiants cette notation qui a des sens différents selon le contexte.
Bonjour,
Pour compléter ce qui a été dit : on a un morphisme d'anneau de (K[X] , +, .) dans (K[f] , + , ° ) défini par
=
.
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