det(A^-1)det(A-XI)det(X^-1I)=  det(I - XA^-1) det(X^-1I)= det(X^-1 - A^-1)
ça doit te suffire

oui mais vous me donnez det(A^-1 - X^-1 ) en gros, mais c'est pas det(A^-1 - X) qu'on cherche plutot ?

Merci en tout cas

Bonjour

Peut-être justifier l'existence de A-1 en disant que 0 n'étant pas racine de _A, il n'est pas valeur propre de A, donc le noyau est réduit à 0 donc A est inversible.

oui ca c'est bon merci
c la suite qui me fait bloquer a dire vrai

Merci

tu poses  Y = X^-1  et tu regardes ce qui se passe

okaymeci lolo en fait ce qui me genait aurait pas du

merci !

non en fait je suis toujours pas convaincu apres calcul ..

j'ai

et si je pose Y=X^-1  ca change forcément dans le membre de gche que je recherche aussi non ?

je comprend pas cette subtilité , merci à vous

Bonjour

Voici une méthode différente. On sait que

avec a₀0. Si on met _{a_0A^{-n}} en facteur, on trouve un polynôme unitaire de degré n annulateur pour A^-1, donc c'est le polynôme caractéristique (ou - celui-ci selon les définitions).

okay merci beaucoup en fait camélia, je vais reprendre votre idée mais un poil différemnt car vous avez fait une micro erreur je crois :p
en rédigeant, ca ferait:

Selon le th de CayleyHamilton:

tq:
  car n non nilpotente sinon
et
avec ()

Soit  )

on a donc



"ce polynome unitaire est annulateur de degré n pour A^{-1}"

donc en gros avec et (b nouveau coef)

le petit truc qui me gene c la propriété entre guillemet que vous m'avez énoncé , c'est une equivalence ?

Merci beaucoup sinon, je suis plus convaincu par cette démo

arf, en relisant pour la n ieme je relis 2 petite erreut en haut c
et je resoud a un moment sans m'en rendre compte comme si a0 different de 0 :/

mais sinon je pense que c bon
merci !

Marrant j'avais d'abord songé à la méthode de Camélia ....ya juste un problème je vois pas pourquoi (à priori...même si à posteriori ...)
un polynôme arbitraire de degré n qui annule la matrice serait le polynôme caractéristique : dit ainsi c'est clairement faux !

à posteriori on trouve exactement le même polynôme..que dans la méthode précédente .

Bonjour

Vous avez raison (FonKy et lolo217) ma rédaction est très mauvaise, mais mon polynôme est correct.
Alors voilà: Si P est le polynôme caractéristique de A j'ai posé
P(X)=det(A)XⁿQ(1/X) et j'ai dit que Q est le polynôme caratéristique de A^-1 en le justifiant plutôt mal. Alors voici la bonne justification:

Eventuellement dans un sur-corps on peut toujours écrire

où les _i sont les valeurs propres de A comptées avec leur multiplicité.

On a alors

et cette fois c'est clair que c'est le polynôme caractéristique de A^-1 dont justement on voit apparaitre les valeurs propres.