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Polynome caracteristique

Posté par
Guillaume10 16-05-19 à 15:58

Bonjour,

Soit le X(n) le determinant de la matrice trigonale avec ac=1

T(n)=(b a 0 0 ....  0)
            (c  b  a 0 ..    0)
             (0 c b a 0...  0)
            (                          )
            (....                    a)
            (0   ...           c b)

Exprimer son polynome caracteristique X(n) en fonction du polynome Pn(X) avec

Pn(x + 1/x)=x^n + (1/x)^n


Quelqu'un peut me dire comment exprimer le polynome X(n)=A(x1)^n+B(x2)^n en fonction de Pn(X) ?

x1=\frac{b- \sqrt(b^2-4)}{2}

x2=x1=[tex]\frac{b+ \sqrt(b^2-4)}{2} [/tex

Posté par
verdurinre : Polynome caracteristique 16-05-19 à 16:23

Bonsoir,
est-ce que X(n) est le déterminant de T(n) ou son polynôme caractéristique ?

Tu peux chercher « matrices de Toeplitz ».
Ici par exemple

Posté par
Guillaume10re : Polynome caracteristique 16-05-19 à 17:57

Merci pour la reponse !

C'est le polynome caracteristique pas le determinant comme il y a dans le message merci

Posté par
Guillaume10re : Polynome caracteristique 16-05-19 à 18:03

Comment on exprime le polynome caracteristique X(n) en fonction de Pn(X) ?

Sachant que Pn(X) verifie

Pn(x+1/x)=x^n+(1/x)^n

Posté par
verdurinre : Polynome caracteristique 16-05-19 à 20:04

Tu peux commencer en essayant de déterminer les Pn.

Posté par
etniopalre : Polynome caracteristique 17-05-19 à 19:00

1.Montre que   la suite  n Pn K[X]    définie par      P0 = 2  , P1 = X et  la récurrence   Pn + 2 = XPn+1 - Pn  est la seule suite  qui vérifie :
  n   , Xn + 1/Xn = Pn(X + 1/X) .

1.Soit , pour   b K , a K * ,  Tn(a,b)  la matrice de ton énoncé .
  Montre que    Dn(a,b) := Det(Tn(a,b))  ne dépend pas  de  a  et
    que c'est un polynôme  An  en b .
   Compare   alors les An  et les Pn   ( n > 0)

Posté par
elhor_abdelali Correcteurre : Polynome caracteristique 18-05-19 à 18:30

Bonjour,

on a :


\Large \boxed{\chi_n(X)=\det\left(T_n-XI_n\right)=\left|\begin{array}{cccc} b-X & a & & (0) \\ c & \ddots & \ddots & \\ & \ddots & \ddots & a \\ (0) & & c & b-X \\ \end{array}\right|}


en développant par rapport à la première ligne (par exemple) on a la relation récurrente d'ordre 2 :


\Large \boxed{\chi_n(X)=(b-X)\chi_{n-1}(X)-\chi_{n-2}(X)} vu que \Large \boxed{ac=1}


et en posant \Large \boxed{\chi_n(X)=Q_n(b-X)} il vient \Large \blue\boxed{\left \begin{array}{cc}Q_0=1~~,~~Q_1=X\\Q_{n+2}=XQ_{n+1}-Q_n\\\end{array}\right}}


qui n'est pas tout à fait la suite \left(P_n\right)_n décrite par etniopal \Large \boxed{\left \begin{array}{cc} P_0=2~~,~~P_1=X\\P_{n+2}=XP_{n+1}-P_n\\\end{array}\right}}


cette dernière étant en effet l'unique suite de polynômes qui vérifie \Large \boxed{P_n(X+\frac{1}{X})=X^n+\frac{1}{X^n}}


ceci dit , je ne crois pas qu'on puisse exprimer (simplement) \Large \chi_n en fonction de \Large P_n sauf erreur de ma part bien entendu

Posté par
jandri Correcteurre : Polynome caracteristique 18-05-19 à 23:10

Bonjour elhor,

les P_n (resp Q_n) sont les polynômes de Tchebychev de première (resp seconde) espèce normalisés:

2\cos(nt)=P_n(2\cos(t))\quad,\quad\dfrac{\sin((n+1)t)}{\sin(t)}=Q_n(2\cos(t)).

Ils sont reliés par la formule simple : Q_n=\dfrac1{n+1}P'_{n+1}.

Comme \chi_n s'exprime en fonction de Q_n, il s'exprime en fonction de P'_{n+1}.

Posté par
elhor_abdelali Correcteurre : Polynome caracteristique 19-05-19 à 06:06

Bonjour jandri , c'est un plaisir de te retrouver


en effet (je viens de m'en apercevoir ) les polynômes de Tchebychev de première et seconde espèce étant respectivement


les deux suites \Large \left(U_n\right)_n et \Large \left(V_n\right)_n définies par :


\Large \boxed{\left \begin{array}{cc} U_0=1~~,~~U_1=X\\U_{n+2}=2XU_{n+1}-U_n\\\end{array}\right}} et \Large \boxed{\left \begin{array}{cc} V_0=1~~,~~V_1=2X\\V_{n+2}=2XV_{n+1}-V_n\\\end{array}\right}} avec \Large \boxed{V_n=\frac{U_{n+1}^{'}}{n+1}}


il est facile de voir que \Large \boxed{P_n=2U_n\left(\frac{X}{2}\right)} et \Large \boxed{Q_n=V_n\left(\frac{X}{2}\right)}


et donc \Large \boxed{\chi_n(X)=Q_n\left(b-X\right)=V_n\left(\frac{b-X}{2}\right)=\frac{1}{n+1}U_{n+1}^{'}\left(\frac{b-X}{2}\right)=\frac{1}{n+1}P_{n+1}^{'}\left(b-X\right)}

Posté par
jandri Correcteurre : Polynome caracteristique 19-05-19 à 10:39

Bonjour elhor,

je suis aussi très heureux de te retrouver, tes posts sont toujours aussi clairs et bien présentés, très agréables à lire.

Le résultat qui est bien connu est que le polynôme caractéristique \det(XI_n-A_n) de la matrice tridiagonale A_n d'ordre n, avec des 0 sur la diagonale et des 1 au dessus et en dessous, est le polynôme Q_n, polynôme de Tchebychev de seconde espèce que j'appelle "normalisé".

Posté par
elhor_abdelali Correcteurre : Polynome caracteristique 19-05-19 à 15:54

Tout à fait jandri

Posté par
Guillaume10re : Polynome caracteristique 21-05-19 à 18:51

Bonjour à tous !

Merci beaucoup pour vos réponses c'est clair !


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