Bonsoir,

pour 1 k n, f_k(A) est la somme des mineurs principaux d'ordre k. Je rappelle qu'un mineur principal d'une matrice A c'est le déterminant d'une sous-matrice carrée de A dont on supprime le même ensemble de lignes et de colonnes, donc ici c'est presque par définition.

Bonne soirée

Je me rends compte que mon message n'a aucun sens tel qu'il est écrit. Je corrige en introduisant une notation. Pour k comme ci-dessus, on prend et on note



Un mineur principal d'ordre k est le déterminant d'une telle sous-matrice.

Désolé aux modérateurs pour ce triple-post, je suis fatigué (j'ai déménagé toute la journée...).

Rintaro @ 28-10-2023 à 18:31

Pour k comme ci-dessus, on prend de cardinal k.

Merci Rintaro pour ta réponse.

J'entends bien la définition, seulement concrètement, je ne comprends pas le mécanisme de la chose.

c'est la notation I inclus dans {1,.......,n} qui m'embrouille. Je n'arrive à poser la somme avec cette notation. Pour moi c'est du charabia.

Comment je pose le premier par exemple ? Quelle est mon erreur ? Quel est le développement juste (il me faut juste un exemple concret avec des chiffres et là je  vais comprendre direct c'est sûr) Merci d'avance. Prends ton temps pour répondre. Pas de soucis. Repose toi bien

Bonsoir,

La trace d'une matrice, c'est juste la somme de ses coefficients diagonaux (les mineurs principaux de taille 1 sont juste les coeffcients diagonaux, bien sûr !).

Je veux dire je donne la définition que j'ai :



soit k=1

je pose =

en fait je ne comprends pas les mineurs principaux en ordre 1, on ne soustrait aucune ligne ni aucune colonne au final , donc les coefficient mineurs principaux en ordre 1 , c'est le coefficient directement (désolé mais aucune vidéo ni aucune ressource ne m'indique le pourquoi du comment et j'ai cherché...) .  Car en ordre 2 , aucun souci , ça coule de source.Mais je veux dire en ordre 2, avec je barre la première ligne et la première colonne , ,et je fais le déterminant du reste et c'est en ordre 2x2 etc avec n=3  . Mais là , en ordre 1 ,on ne raye pas , au contraire on l'utilise tout seul , je ne pige pas ce paradoxe....En fait je ne connais pas la technique pour les mineurs principaux d'ordre k=1. Merci de votre patience...

J'imagine qu'il  n'y a pas de technique, c'est juste les coefficients diagonaux pour k=1 comme tu dis mon cher GBZM
cependant, bon je trouve cela curieux , je ne vois pas le lien avec la technique de l'ordre 2 où on barre des lignes et colonnes de même indice.

La définition dit bien : On dit que le mineur est principal s'il est de la forme det , c'est-à-dire si c'est le déterminant d'une sous-matrice de A obtenue en extrayant les lignes et colonnes de mêmes indices.

Or, pour k=1 , on extraye rien du tout...

Je suis sur téléphone, désolé mais je ne vais pas pouvoir écrire beaucoup en LaTeX. D'où viennent tes définitions ? J'ai l'impression que tu interprètes mal les notations employées. Par exemple, si I = {1,2}, alors



Autrement dit on a retiré la 3ème ligne et colonne (indice manquant dans I). Pour les mineurs principaux d'ordre 1, I est un singleton (par exemple I ={1}) et on calcul le determinant de la sous-matrice correspondant au coefficient d'indices lignes/colonnes égal à l'élément de I (dans notre exemple, le coefficient à la première ligne et première colonne). Dans ce cas, on a barré les deuxièmes et troisièmes lignes/colonnes, c'est à dire les lignes et colonnes d'indices à valeurs dans le complémentaire de I.

Finalement : I correspond à l'ensemble des indices que l'on se permet de choisir pour extraire les coefficients de la matrice afin de former une sous-matrice dont on veut calculer le déterminant  (donc un mineur), et une représentation visuelle de ce procédé revient à barrer les lignes et les colonnes dont l'indice est dans le complémentaire de I pour obtenir une sous-matrice dont on calculera le déterminant. J'espère t'avoir aidé.

Un grand merci. J'étudie tout cela demain.

J'ai parfaitement compris. Tu as bien cerné mon problème et je te remercie . C'est limpide dorénavant ! Oui en effet, j'ai très bien saisi les notions d'ensembles, de cardinaux et de complémentaires. J'ai enfin réussi à trouver un sens à cette formule et j'en suis heureux. A bientôt !

Super ! À une prochaine fois, peut-être