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Niveau Licence Maths 1e ann
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Polynôme caractéristique, retrouver trace avec mineursprincipaux

Posté par
fplanina
28-10-23 à 15:30

Bonjour, et merci de prendre le temps de lire ma requête. Voilà, je suis actuellement sur le chapitre « Applications linéaires,matrices et déterminant » et j'ai un souci par rapport à la définition du polynôme caractéristique. Voilà

J'ai la matrice suivante :

A=\begin{pmatrix} 0& 0& 0\\ -2& 1& -1\\ 2& 0& 2\end{pmatrix}



et je trouve son polynôme caractéristique


X^{3}-3X^{2}+2X SOIT


det(XI_{n}-A)=X^{n}-f_{1}(A)X^{n-1}+f_{2}A^{n-1}...+(-1)^{n}f_{n}(A)

d'après la définition.

Alors je cherche à retrouver f_{1}(A) =tr(A)
car on sait que X^{n}-tr(A)^{n-1}...etc

j'applique alors la définition, f_{1}(A) étant la somme des mineurs d'ordre k.

Seulement , j'applique cela sur la matrice A

0 + \begin{vmatrix} 0& 0\\ -2& 1\end{vmatrix} + \begin{vmatrix} 0& 0& 0\\ -2& 1& -1\\ 2& 0& 2\end{vmatrix} = 0 + 0 + 0

Je galère à retrouver le nombre juste soit la trace.
Pourtant je pense bien appliquer la somme de mineurs principaux.
Je ne comprends pas. Quelqu'un pourrait-il m'éclairer là-dessus s'il vous plaît ?

Merci d'avance pour vos réponses. Bon week-end les amis















donc j'essaye de développer fk(M) donc la somme des mineurs principaux d'ordre k

Posté par
Rintaro
re : Polynôme caractéristique, retrouver trace avec mineursprinc 28-10-23 à 18:26

Bonsoir,

pour 1 k n, fk(A) est la somme des mineurs principaux d'ordre k. Je rappelle qu'un mineur principal d'une matrice A c'est le déterminant d'une sous-matrice carrée de A dont on supprime le même ensemble de lignes et de colonnes, donc ici c'est presque par définition.

Bonne soirée

Posté par
Rintaro
re : Polynôme caractéristique, retrouver trace avec mineursprinc 28-10-23 à 18:31

Je me rends compte que mon message n'a aucun sens tel qu'il est écrit. Je corrige en introduisant une notation. Pour k comme ci-dessus, on prend I \subset \{1, \dotsc, k\} et on note

A_{I,I} = (a_{p,q})_{p,q \in I}

Un mineur principal d'ordre k est le déterminant d'une telle sous-matrice.

Posté par
Rintaro
re : Polynôme caractéristique, retrouver trace avec mineursprinc 28-10-23 à 18:32

Désolé aux modérateurs pour ce triple-post, je suis fatigué (j'ai déménagé toute la journée...).

Rintaro @ 28-10-2023 à 18:31

Pour k comme ci-dessus, on prend I \subset \{1, \dotsc, n\} de cardinal k.

Posté par
fplanina
re : Polynôme caractéristique, retrouver trace avec mineursprinc 28-10-23 à 19:26

Merci Rintaro pour ta réponse.

J'entends bien la définition, seulement concrètement, je ne comprends pas le mécanisme de la chose.

c'est la notation I inclus dans {1,.......,n} qui m'embrouille. Je n'arrive à poser la somme avec cette notation. Pour moi c'est du charabia.

Comment je pose le premier par exemple ? Quelle est mon erreur ? Quel est le développement juste (il me faut juste un exemple concret avec des chiffres et là je  vais comprendre direct c'est sûr) Merci d'avance. Prends ton temps pour répondre. Pas de soucis. Repose toi bien

Posté par
GBZM
re : Polynôme caractéristique, retrouver trace avec mineursprinc 28-10-23 à 19:37

Bonsoir,

La trace d'une matrice, c'est juste la somme de ses coefficients diagonaux (les mineurs principaux de taille 1 sont juste les coeffcients diagonaux, bien sûr !).

Posté par
fplanina
re : Polynôme caractéristique, retrouver trace avec mineursprinc 28-10-23 à 21:13

Je veux dire je donne la définition que j'ai :

f_{k}(A)=\sum_{I\subset \left\{1;...,n \right\},card(I)=k}^{}}{Det(A_{I,I})}

soit k=1

je pose f_{1}(A)=\sum_{I,1}^{}{det_{I,I}}= det(A_{1,1})+det(A_{2,2})+det(A_{3,3})

en fait je ne comprends pas les mineurs principaux en ordre 1, on ne soustrait aucune ligne ni aucune colonne au final , donc les coefficient mineurs principaux en ordre 1 , c'est le coefficient A_{I,I} directement (désolé mais aucune vidéo ni aucune ressource ne m'indique le pourquoi du comment et j'ai cherché...) .  Car en ordre 2 , aucun souci , ça coule de source.Mais je veux dire en ordre 2, avec A_{1,1} je barre la première ligne et la première colonne , ,et je fais le déterminant du reste et c'est en ordre 2x2 etc avec n=3  . Mais là , en ordre 1 ,on ne raye pas A_{1,1} , au contraire on l'utilise tout seul , je ne pige pas ce paradoxe....En fait je ne connais pas la technique pour les mineurs principaux d'ordre k=1. Merci de votre patience...

Posté par
fplanina
re : Polynôme caractéristique, retrouver trace avec mineursprinc 28-10-23 à 21:31

J'imagine qu'il  n'y a pas de technique, c'est juste les coefficients diagonaux pour k=1 comme tu dis mon cher GBZM
cependant, bon je trouve cela curieux , je ne vois pas le lien avec la technique de l'ordre 2 où on barre des lignes et colonnes de même indice.

La définition dit bien : On dit que le mineur est principal s'il est de la forme det A_{I,I}, c'est-à-dire si c'est le déterminant d'une sous-matrice de A obtenue en extrayant les lignes et colonnes de mêmes indices.

Or, pour k=1 , on extraye rien du tout...

Posté par
Rintaro
re : Polynôme caractéristique, retrouver trace avec mineursprinc 28-10-23 à 23:06

Je suis sur téléphone, désolé mais je ne vais pas pouvoir écrire beaucoup en LaTeX. D'où viennent tes définitions ? J'ai l'impression que tu interprètes mal les notations employées. Par exemple, si I = {1,2}, alors

A_{I,I} = \begin{bmatrix} a_{1,1} & a_{1,2} \\ a_{2,1} & a_{2,2} \end{bmatrix}

Autrement dit on a retiré la 3ème ligne et colonne (indice manquant dans I). Pour les mineurs principaux d'ordre 1, I est un singleton (par exemple I ={1}) et on calcul le determinant de la sous-matrice correspondant au coefficient d'indices lignes/colonnes égal à l'élément de I (dans notre exemple, le coefficient à la première ligne et première colonne). Dans ce cas, on a barré les deuxièmes et troisièmes lignes/colonnes, c'est à dire les lignes et colonnes d'indices à valeurs dans le complémentaire de I.

Finalement : I correspond à l'ensemble des indices que l'on se permet de choisir pour extraire les coefficients de la matrice afin de former une sous-matrice dont on veut calculer le déterminant  (donc un mineur), et une représentation visuelle de ce procédé revient à barrer les lignes et les colonnes dont l'indice est dans le complémentaire de I pour obtenir une sous-matrice dont on calculera le déterminant. J'espère t'avoir aidé.

Posté par
fplanina
re : Polynôme caractéristique, retrouver trace avec mineursprinc 28-10-23 à 23:28

Un grand merci. J'étudie tout cela demain.

Posté par
fplanina
re : Polynôme caractéristique, retrouver trace avec mineursprinc 29-10-23 à 11:56

J'ai parfaitement compris. Tu as bien cerné mon problème et je te remercie . C'est limpide dorénavant ! Oui en effet, j'ai très bien saisi les notions d'ensembles, de cardinaux et de complémentaires. J'ai enfin réussi à trouver un sens à cette formule et j'en suis heureux. A bientôt !

Posté par
Rintaro
re : Polynôme caractéristique, retrouver trace avec mineursprinc 29-10-23 à 18:18

Super ! À une prochaine fois, peut-être



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