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Polynôme d'endomorphisme
Bonjour,
Je rencontre des problemes pour résoudre cet exercice:
Soit n
*, soit a une matrice carrée de taille n de 
telle que
A3=A2 et Tr(A)=n
Montrer que A=Id.
Le début de mon raisonnement: X3-x2=X2(X-1) est un polynôme annulateur de l'endomorphisme associé à A. Donc 0 et 1 sont des vp de A. Ce polynome est scindé sur 
mais pas sur . On ne peut pas savoir si A est diagonalisable donc je ne vois pas comment poursuivre
Merci
Bonjour,
c'est un peu plus fort que "donc 0 et 1 sont des vp de A", essaie de voir ce que je veux dire par là.
Cette remarque + tr(A)=n te permet de conclure.
Bonjour,
En fait A3 = A2 est une condition très restrictive.
En multipliant par A de chaque coté de l'égalité on a en fait, Pour tout k>2 Ak =A2
Donc X2(Xn - 1 ) est aussi un annulateur de A et donc 1 est une valeur propre d'ordre n. De plus A est non nulle puisque sa trace vaut 1 ( qui est aussi la somme des valeur propres comptées avac leur multiplicité 
)
On a donc Rn = Sp(1)
Donc pour tout X appartenant à Rn , AX=X donc A = Idn
ps : je ne suis pas sur de mon raisonnement sur cette phrase : "Donc X2(Xn - 1 ) est aussi un annulateur de A et donc 1 est une valeur propre d'ordre n." si quelqu'un peut confirmer ou infirmer...
Je ne vois pas ce que je peux dire de plus otto.
Pour Axel24, je ne comprends pas pourquoi tu dis que le spectre ne contient que 1. Ni y a t il pas 0 aussi?
La relation X2(Xn-1) ne dit elle pas que 1 est vp d'ordre n et 0 d'ordre 2? Mais Cela est impossible en dimension n.
La relation donne plutot X2(Xk-2-1) comme polynome annulateur, non?
Hello,
On sait que 0 ou 1 sont valeurs propres, et ce sont les seules possibles. Si 0 est valeur propre, sa multiplicité m est au moins 1 et on aura , ce qui est faux. Donc A inversible et en multipliant par A-2 on a ce qu'il faut. Pas vrai ?
D'accord, c'est clair rapide précis comme d'habitude.
Merci gui_tou!!!
Merci également aux autres.
Bonne fin de soirée
En fait 0 est aussi vp de la matrice mais comme X²(Xn - 1 ) est annulateur de A, 1 est valeur propre d'ordre n.
En raisonnant sur la dimension des espaces on remarque que la dimension de l'espace vectoriel des vecteurs propres associés à 1 vaut donc n. Par déduction, la dimension de l'espace associé à la valeur propre zero vaut 0. Donc 0 est valeur propre de A et le seul vecteur propre associé est le vecteur nul. 1 est valeur propre de A et l'espace vectoriel engendré par 1 parcourt tout l'espace. Donc chaque élément de l'espace est vecteur propre de A associé à la valeur propre 1 ( donc pour tout X, AX=X) donc A est la matrice identité
Mais il suffit de dire que les SEULES valeurs propres de A sont 1 ou 0, il n'y en a pas d'autres possibles...
Puisque la trace est la somme des valeurs propres on n=somme de 1 (k fois) + somme de 0 (n-k) fois et donc n=k et c'est réglé...
En fait 0 est aussi vp de la matrice
La preuve que non, A=Id ...
En fait ce qui est trompeur c'est que les vp sont forcement racines du polynome annulateur mais la réciproque est fausse.
Mais cela a t il un sens d'ecrire que 0 est une valeur propre ayant pour vecteur propre le vecteur nul parce qu'on sait qu'un vecteur propre n'est jamais nul et qu'ici on parle d'inverse de matrice(dc 0 vp bof bof), non?
X²(Xn - 1 ) est annulateur de A, 1 est valeur propre d'ordre n.
Je ne vois pas de lien de cause à effet ...
X^2(X-1) est aussi annulateur de A.
Tu t'embrouilles Axel !
En fait 0 est aussi vp de la matrice mais comme X²(Xn - 1 ) est annulateur de A, 1 est valeur propre d'ordre n.
Ba non on n'en sait rien que 1 est val-p d'ordre n, X²(X-1) est aussi un poly annulateur mais pourtant 1 n'est pas val-p d'ordre n. Attention à ne pas confondre polynôme annulateur / caractéristique (c'est ce à quoi tu pensais non ?) / minimal (hors-programme en prépa).
Donc 0 est valeur propre de A et le seul vecteur propre associé est le vecteur nul
oO quelle est ta définition d'une valeur propre ?! Ça dit justement que 0 n'est pas valeur propre !!
Mais cela a t il un sens d'ecrire que 0 est une valeur propre ayant pour vecteur propre le vecteur nul parce qu'on sait qu'un vecteur propre n'est jamais nul et qu'ici on parle d'inverse de matrice(dc 0 vp bof bof), non?
Non, ça n'a pas de sens.
Ce n'est pas si trompeur que ça quand tu y penses.
X^2-2 est annulateur de racine de 2, mais tout polynôme de la forme
P(x)=(x^2-2)Q(x) est encore annulateur de racine de 2, tu es d'accord?
C'est la même chose pour les matrices, si tu prends un polynôme annulateur (il n'y a pas unicité) et que tu multiplies par un autre polynôme, alors tu as tendance à ajouter des racines. Ces racines n'ont pas nécessairement de lien avec ta matrice....
Ouep otto, bien sûr que c'est ce à quoi tu pensais, je n'ai fait que reformuler/clarifier après la réponse d'axel
minimal (hors-programme en prépa)
Depuis quand?
Ça donne tellement d'information sur la matrice pourtant!
Ouep otto, bien sûr que c'est ce à quoi tu pensais, je n'ai fait que reformuler/clarifier après la réponse d'axel
N'y vois aucune critique
c'est juste que je voulais clarifier pour BCPCSI 
C'est la méthode la plus directe de toute manière.
Oui a posteriori je suis d'accord avec toi Otto mais avec ta réponse initiale je ne mettais pas orienter vers la bonne piste; je n'avais pas réussi à etablir un lien vec les ordres de multiplicité.
Sinon une autre méthode serait de calculer le polynôme caractéristique. Il est de la forme
X^p(X-1)^k. On développe et on applique le fait que tr(A)=n. Ca revient exactement à ce que l'on a fait en fait.
Une autre méthode consisterait à faire de même et à appliquer le théorème de Cayley-Hamilton. Je pense que l'on serait capable de conclure (je n'ai essayé aucune de ces méthodes mais je pense que ça va aboutir rapidement).
Depuis quand?
Ça donne tellement d'information sur la matrice pourtant!
Dans les classes étoilées de MP on en parle je pense, mais aux concours il faut à tout prix éviter d'en parler. Je n'ai pas le recul nécessaire pour savoir pourquoi, il y a peut-être une trop grosse théorie derrière ? (Idéal, anneau, tout ça).
En tout cas en PC, motus et bouche cousue sur le poly minimal et sur le théorème de Cayley-Hamilton. C'est dommage..
décidement... "demener"
Bon je vais m'orienter sur un forum de français maintenant que les maths ont abouties!
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