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polynôme dans C ou dans IR
Bonjour tout le monde,
Je ne suis pas très à l'aise avec une notion.
J'ai un exercice (qu'on a corrigé en cours mais qui m'échappe) où me de demande de trouver tous les polynômes P de IR[X] tels que P(i)= 2i +5
Ma première difficulté et que j'avais cru comprendre qu'un polynôme de C[X] prenait ses valeurs dans C et qu'un polynôme de IR[X] prenait ses valeurs dans IR.
Je continue l'exo.
On voit une solution particulière A= 2X+5
P(i)= A(i)
P(i) - A(i)= 0
i racine de P-A
(X-i)| P-A
P-A= (X-i)Q
P= (X-i)Q +A
On me dit ensuite (enfin mon prof d'algèbre 
) que
si i est racine de P-A
IR[X]
alors -i est aussi racine de P-A.
Je sais que c'est probablement une question de cours, mais je crois que je n'ai
pas compris cette partie.
Pourriez-vous m'aider à y voir plus clair?
Bonsoir letonio;
Vu que le polynome est à coefficients réels si
en est une racine alors
en est une aussi et comme
tu as la réponse à ta question.
Sauf erreurs...
Sa;ut!
Comme on se retrouve...
Alors un polynome de R[X], il a ses coefficients reels. Et dans C[X], ses coefficients sont complexes.
mais rien n'empeche de prendre un polynome a coefficients reels, et a substituer des complexes a X...
l'histoire du (-i) qui est aussi racine.
Methode 1 ("intuitive" et donc pas rigoureuse du tout... mais parfois on le "sent" comme ca):
P-A est a coefficients reels. Si i est racine de P-A, on peut factoriser (dans C[X]...) (X-i). Si on ne peut pas factoriser (X+i) aussi, alors on n'aura pas un polynome a coefficients reels!
Methode 2 (la demo!)
(P-A)(i) = 0
P-A est a coefficients reels donc pour tout complexe z:
Et donc pour z=i... (P-A)(-i) = 0.
Plaf.
Ce que j'appelle "conjugue du polynome", c'est en fait le polynome avec tous les coefficients conjugues. Comme ils sont reels, ce sont les memes.
Peut-etre pas tres clair... reposte si ca va pas.
biondo
Il faut lire:
"pour tout complexe z racine du polynome".
Sinon, pas top.
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