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Polynôme de R[X]
Bonjour,
c'est un exercice que j'ai eu ce matin, et je bloque sur la dernière question, donc, si quelqu'un pourrait me donner une piste 
Voici l'énoncé :
J'ai déjà montré que :
Il y a une unique suite de polynômes (Nk) , telle que :
N0 =1
k
1, 
(Nk) = Nk-1 , et Nk(0) = 0
(P) = P(X+1) - P(X). pour tout polynôme P de 
[X]
j'ai aussi montré que :
k1, Nk= (1/k!)*X(X-1)(X-2)*....*(X-k+1)
Et donc, que tous les entiers entre 0 et k-1, inclus, sont les racines de Nk.
Maintenant, on me donne :
Q
n[X], Q = a0N0 +a1N1+..... + anNn
Et P[X], tel que (P) = Q, et P(0) = 0.
Je dois exprimer P en fonction des Nj, et c'est là que je bloque.
Donc, si quelqu'un pourrait me proposer une piste à suivre.
Merci.
Ah oui, desolé, mais j'ai aussi montré que les (Nj) formaient une base de [X], et que si P existe, alors il est unique.
bonjour
je note D(P)=P(X+1)-P(X)
tu montre que D est linaire dans l'ev R[X]
tu montre que (Nk) est une base de R[X]
comme D(Nk)=N(k-1) et N0=1 donc D transforme la base (Nk) en elle m^me
donc D est un automorphisme de R[X]
l'équation D(P)=N re vient à dire que P est l'antécédent de N par D
tu sais qu'il est unique
voila pour l'existance
deg(D(P))=degNn=n
D(P)=D(x0N0+x1N1+...xnNn)=x0D(N0)+x1D(N1)+...+xnD(Nn)
=x0N0+x1N0+...+xkN(k-1)+...+xnN(n-1)
=a0N0+a1N1+...+anNn
xk=a(k-1) ; car (Nk) est une base
mais pour les premiers terme j'ai un doute
je te laisse chercher mon erreur
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