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Polynôme et anneau

Posté par
fusionfroide 10-03-08 à 19:10

Salut

Je dois montrer que si A est intègre, alors tout polynôme de degré n a au plus n racines.

On me dit d'utiliser le fait que P(a)=0 <=> X-a divise P

Bon j'aimerai déjà montrer cette propriété.


J'ai testé pour a=0

Si a=0, on a P(0)=0 <=> a_0=0

Donc si P=\Bigsum_{i=0}^n a_iX^i, alors P=X(\Bigsum_{i=1}^n a_i X^{i-1} donc X divise bien P

Maintenant pour a quelconque.

Je pose Y=X-a

Alors 4$P(X)=\Bigsum_{i=0}^n a_i(Y+a)^i=\Bigsum_{i=0}^n \Bigsum_{k=0}^i C_i^kY^ka^{n-k}

Auriez-vous une piste pour poursuivre ?

Merci

Posté par
fusionfroidere : Polynôme et anneau 10-03-08 à 19:11

Ah attendez avant de répondre MErci

Posté par
fusionfroidere : Polynôme et anneau 10-03-08 à 19:13

Donc j'ai : P(X)=\Bigsum_{i=0}^n \Bigsum_{k=0}^i C_i^k(X-a)^ka^{n-k}

Euh si j'évalue en a il ne me reste rien

Posté par
fusionfroidere : Polynôme et anneau 10-03-08 à 19:14

Ah si c'est bon j'ai trouvé
Il reste un terme constant et on conclut facilement !
Merci à vous !

Posté par
fusionfroidere : Polynôme et anneau 10-03-08 à 19:14

Désolé pour ce post inutile j'espère que ça servira un jour à quelqu'un :!

Posté par
infophilere : Polynôme et anneau 10-03-08 à 19:17

Posté par
lolo217re : Polynôme et anneau 10-03-08 à 22:42

Pour ce résultat sur  X-a  tu n'utilises quasi rien sur l'anneau, ensuite c'est la commutativité (et l'intégrité) qui interviennent

Posté par
1 Schumi 1re : Polynôme et anneau 11-03-08 à 09:27

Bonjour tout le monde,

FF >> J'espère pour toi que dans ta définition d'un "anneau intègre" le mot "commutativité" se trouve quelque part, sinon le résultat tombe malheureusement en défaut.


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